Énoncé
Partie A
On considère la fonction C définie sur l'intervalle [5 ; 60] par :
1. On désigne par 
la dérivée de la fonction C.
Montrer que pour tout![x\: \in \left [ 5\, ;\, 60 \right ]](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m3.png)
, 
.
la dérivée de la fonction C.Montrer que pour tout
, .2.
On considère la fonction f définie sur [5 ; 60] par :
f(x) = 0,1x0,1x − e0,1x − 20
f(x) = 0,1x0,1x − e0,1x − 20
a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].
b. Monter que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans [5 ; 60].
c. Donner un encadrement à l'unité de α.
d. En déduire le tableau de signes de f(x) sur [5 ; 60].
3. En déduire le tableau de variations de C sur [5 ; 60].
4.
En utilisant la question précédente, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :
a. C(x) = 2.
b. C(x) = 5.
Partie B
Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec ![x\: \in \left [ 5\, ;\, 60 \right ]](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m5.png)
.
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.
.Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.
La bonne méthode un+1 = f(un).
PARTIE A
1. Utiliser la dérivée d'un quotient de deux fonctions.
2.
a. Dériver la fonction f et étudier son signe.
b. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
c. Utiliser la calculatrice.
d. Faire le tableau de signes de f(x) sur [5 ; 60].
3. Remarquer que 
.
.4.
a. et b. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
PARTIE B
Utiliser les résultats de la partie A.Penser à rédiger une conclusion.
Corrigé
Partie A
1. La fonction C est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
avec u(x) = e0,1x + 20 et v(x) = x. On a 
, 
et 
.
On a donc :
avec u(x) = e0,1x + 20 et v(x) = x. On a , et .On a donc :
2.
a. La fonction f est dérivable comme produit de fonctions dérivables.
f(x) = 0,1xe0,1x − e0,1x − 20 = u(x) × v(x) − e0,1x − 20, avec u(x) = 0,1x et v(x) = e0,1x. On a
, 
et 
.
On a donc :
Pour tout![x\: \in \left [ 5\, ;\, 60 \right ]](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m18.png)
, 0,01x > 0 et e0,1x > 0. Donc 
sur [5 ; 60]. Et la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].
f(x) = 0,1xe0,1x − e0,1x − 20 = u(x) × v(x) − e0,1x − 20, avec u(x) = 0,1x et v(x) = e0,1x. On a
, et .On a donc :
Pour tout
, 0,01x > 0 et e0,1x > 0. Donc sur [5 ; 60]. Et la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].b. La fonction f est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [5 ; 60].
et 
. Donc f(5) < 0 < f(60)
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [5 ; 60].
et . Donc f(5) < 0 < f(60)Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [5 ; 60].
c. En utilisant la calculatrice, on obtient 
et 
. Donc 25 < α < 26.
et . Donc 25 < α < 26.d. Comme la fonction f est strictement croissante et que f(α) = 0, on a :
 |
3. 
. Donc 
est du signe de f(x).
. Donc est du signe de f(x). |
On a 
, 
et 
.
, et .4.
a. La fonction C est définie continue (car dérivable) strictement décroissante sur [5 ; α].
Or C(5) > 2 > C(α). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 2 admet une unique solution sur [5 ; α].
De même, la fonction C est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [α ; 60].
Or C(α) < 2 < C(60). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 2 admet une unique solution sur [α ; 60].
Par conséquent, l'équation C(x) = 2 admet deux solutions sur [5 ; 60].
Or C(5) > 2 > C(α). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 2 admet une unique solution sur [5 ; α].
De même, la fonction C est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [α ; 60].
Or C(α) < 2 < C(60). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 2 admet une unique solution sur [α ; 60].
Par conséquent, l'équation C(x) = 2 admet deux solutions sur [5 ; 60].
b. La fonction C est définie continue (car dérivable) strictement décroissante sur [5 ; α]. Donc elle admet un maximum en 5 égal à C(5) < 5. Donc l'équation C(x) = 5. n'admet aucune solution sur [5 ; α].
La fonction C est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [α ; 60].
Or C(α) < 5 < C(60). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 5 admet une unique solution sur [α ; 60].
Par conséquent, l'équation C(x) = 5 admet une unique solution sur [5 ; 60].
La fonction C est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [α ; 60].
Or C(α) < 5 < C(60). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 5 admet une unique solution sur [α ; 60].
Par conséquent, l'équation C(x) = 5 admet une unique solution sur [5 ; 60].
Partie B
La fonction C admet un minimum en α, avec 25 < α < 26.Or
et 
. Donc le coût moyen minimal sera atteint pour une production de 26 vélos.
