Compléments sur la dérivation

Énoncé

On désigne par f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f\left ( x \right )\: =\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3$ .

1. Calculer les limites de la fonction f en $+\infty$ et en $-\infty$ .

2. Déterminer la dérivée de la fonction f.

3. Étudier les variations de la fonction f sur $\mathbb{R}$ , puis dresser son tableau de variations.

4. On note f{}''

la fonction dérivée de f{}'

. Déterminer $f{}''\left ( x \right )$ .

a. Faire le tableau de signe de $f{}''\left ( x \right )$ .

b. En déduire les coordonnées du point d'inflexion.

c. Donner la convexité de la fonction f sur $\mathbb{R}$ .

La bonne méthode

1. Développer pour obtenir $f\left ( x \right )\: =\: \frac{2x}{\mathrm{e}^{2x}}\:+\:\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3$ pour la limite en $+\infty$ .

2. Utiliser la dérivée du produit de deux fonctions.

3. Étudier le signe de $f{}'\left ( x \right )$ en faisant un tableau de signes.

4. Même technique que la question 2.

a. Factoriser la dérivée seconde par e^−2x.

b. Chercher les valeurs qui annulent $f{}''\left ( x \right )$ .

c. Regarder le signe de $f{}''\left ( x \right )$ .

Voir le corrigé

Corrigé

1. On a $f\left ( x \right )\: =\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3\: =\: \frac{2x}{\mathrm{e}^{2x}}\: +\: \mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3$ .
On sait que $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}\: =\: 0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( 2x \right )\: =\: +\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2x}{\mathrm{e}^{2x}}\: =\: 0$ . De plus $\lim_{x\rightarrow +\infty }\mathrm{e}^{-2x}\: =\:\lim_{x\rightarrow +\infty }\mathrm{e}^{x}\: =\: 0$ .
Par conséquent, $\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )\: =\: 0\: +\: 0\: +\: 3\: =\:3$ .
On a $\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( 2x\: +\: 1 \right )\: =\: -\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty }\mathrm{e}^{-2x}\: =\: +\infty$ . Donc $\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left ( x \right )\: =\: -\infty$ .

2. La fonction f est dérivable comme produit et somme de fonctions dérivables.
$f\left ( x \right )\: =\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3\: =\:u\left ( x \right )\: \times \: v\left ( x \right )\: +\: 3$ avec $u\left ( x \right )\: =\: 2x\: +\: 1$ et $v\left ( x \right )\: =\:\mathrm{e}^{-2x}$ . On a $u{}'\left ( x \right )\: =\: 2$ , $v{}'\left ( x \right )\: =\: -2\mathrm{e}^{-2x}$ et $f{}'\: =\: u{}'v\; +\; uv{}'$ .
Donc $f{}'\left ( x \right )\: =\: 2\: \times \:\mathrm{e}^{-2x}\: +\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\times \left ( -2\mathrm{e}^{-2x} \right )\: =\: -4x\mathrm{e}^{-2x}$ .

Comme e^−2x > 0, $f{}'\left (x \right )$ est du signe de –4x.

4. La fonction f{}'

est dérivable comme produit de fonctions dérivables.
$f{}'\left ( x \right )\: =\: -4x\mathrm{e}^{-2x}\: =\: u\left ( x \right )\: \times \: v\left ( x \right )$ avec $u\left ( x \right )\: =\: -4x$ et $v\left ( x \right )\: =\: \mathrm{e}^{-2x}$ . On a $u{}'\left ( x \right )\: =\: -4$ , $v{}'\left ( x \right )\: =\: -2\mathrm{e}^{-2x}$ et $f{}''\: =\: u{}'v\: +\: uv{}'$ .
On a donc $f{}''\left ( x \right )\: =\: -4\mathrm{e}^{-2x}\: -\: 4x\: \times \: \left ( -2\mathrm{e}^{-2x} \right )\: =\: \mathrm{e}^{-2x}\left ( -4\: +\: 8x \right )$ .

a. Comme e^−2x > 0, $f{}''\left ( x \right )$ est du signe de (–4 + 8x).
$f{}''\left ( x \right )\: >\: 0\, \Leftrightarrow \, -4\: +\: 8x\: > \: 0\, \Leftrightarrow \, x\, > \, \frac{1}{2}$ .

s'annule en changeant de signe en $x\: =\: \frac{1}{2}$ , donc la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $x\: =\: \frac{1}{2}$ . On a $f\left ( \frac{1}{2} \right )\: =\: \left ( 2\: \times \: \frac{1}{2}\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2\times \frac{1}{2}}\: +\: 3\: =\: \frac{2}{\mathrm{e}}\: +\: 3$ .
Le point d'inflexion a pour coordonnées $\left ( \frac{1}{2}\: ;\: \frac{2}{\mathrm{e}}\: +3 \right )$ .

c. La fonction f est concave sur l'intervalle $]-\infty \: ;\: \frac{1}{2}]$ et convexe sur l'intervalle $[\frac{1}{2}\: ;\: +\infty [$ .