Continuité des fonctions d'une variable réelle

Énoncé

Partie A

On considère la fonction C définie sur l'intervalle [5 ; 60] par :
$C\left ( x \right )\: =\: \frac{\mathrm{e}^{0,1x}\: +\: 20}{x}$

1. On désigne par C{}'

la dérivée de la fonction C.
Montrer que pour tout $x\: \in \left [ 5\, ;\, 60 \right ]$ , $C{}'\left ( x \right )\: =\: \frac{0,1x\mathrm{e}^{0,1x}\: -\: \mathrm{e}^{0,1x}\: -\: 20}{x^{2}}$ .

On considère la fonction f définie sur [5 ; 60] par :
f(x) = 0,1x^0,1x − e^0,1x − 20

a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].

b. Monter que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans [5 ; 60].

c. Donner un encadrement à l'unité de α.

d. En déduire le tableau de signes de f(x) sur [5 ; 60].

3. En déduire le tableau de variations de C sur [5 ; 60].

En utilisant la question précédente, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

a. C(x) = 2.

b. C(x) = 5.

Partie B

Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec $x\: \in \left [ 5\, ;\, 60 \right ]$ .
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.

La bonne méthode u_n+1 = f(u_n).

PARTIE A

1. Utiliser la dérivée d'un quotient de deux fonctions.

a. Dériver la fonction f et étudier son signe.

b. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

c. Utiliser la calculatrice.

d. Faire le tableau de signes de f(x) sur [5 ; 60].

3. Remarquer que $C{}'\left ( x \right )\: =\:\frac{f\left ( x \right )}{x^{2}}$ .

a. et b. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

PARTIE B

Utiliser les résultats de la partie A.
Penser à rédiger une conclusion.

Corrigé

Partie A

1. La fonction C est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
$C\left ( x \right )\: =\: \frac{\mathrm{e^{0,1x}}\: +\: 20}{x}\: =\:\frac{u\left ( x \right )}{v\left ( x \right )}$ avec u(x) = e^0,1x + 20 et v(x) = x. On a $u{}'\left ( x \right ) = 0,1\mathrm{e}^{0,1x}$ , $v{}'\left ( x \right )\: =\: 1$ et $C{}'\: =\: \frac{u{}'v\: -\: uv{}'}{v^{2}}$ .
On a donc :
$C{}'\left ( x \right )\: =\: \frac{0,1\mathrm{e}^{0,1x}\: \times \: x\: -\: \left ( \mathrm{e}^{0,1x}\: +\: 20\: \times 1 \right )}{x^{2}}$
$C{}'\left ( x \right )\: =\: \frac{0,1x\mathrm{e}^{0,1x}\: -\: \mathrm{e}^{0,1x}\: -\: 20}{x^{2}}$

a. La fonction f est dérivable comme produit de fonctions dérivables.
f(x) = 0,1xe^0,1x − e^0,1x − 20 = u(x) × v(x) − e^0,1x − 20, avec u(x) = 0,1x et v(x) = e^0,1x. On a $u{}'\left ( x \right )\: =\: 0,1$ , $v{}'\left ( x \right )\: =\: 0,1\mathrm{e}^{0,1x}$ et $f{}'\left ( x \right )\: =\: \left ( u{}'v\: +\: uv{}' \right )\left ( x \right )\: -\: 0,1\mathrm{e}^{0,1x}$ .
On a donc :
$f{}'\left ( x \right )\: =\: 0,1e^{0,1x}\: +\: 0,1x\: \times \: 0,1\mathrm{e}^{0,1x}\: -\: 0,1\mathrm{e}^{0,1x}$
$f{}'\left ( x \right )\: =\: 0,01x\mathrm{e}^{0,1x}$
Pour tout $x\: \in \left [ 5\, ;\, 60 \right ]$ , 0,01x > 0 et e^0,1x > 0. Donc $f{}'\left ( x \right )\: > \: 0$ sur [5 ; 60]. Et la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].

b. La fonction f est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [5 ; 60].
$f\left ( 5 \right )\: \approx \: -21$ et $f\left ( 60 \right )\: \approx \: 1997$ . Donc f(5) < 0 < f(60)
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [5 ; 60].

c. En utilisant la calculatrice, on obtient $f\left ( 25 \right )\: \approx \: -1,7$ et $f\left ( 26 \right )\: \approx \: 1,5$ . Donc 25 < α < 26.

d. Comme la fonction f est strictement croissante et que f(α) = 0, on a :

$C{}'\:\left ( x \right ) =\: \frac{0,1xe^{0,1x}\: -\: e^{0,1x}\: -\: 20}{x^{2}}\: =\: \frac{f\left ( x \right )}{x^{2}}$ . Donc $C{}'\:\left ( x \right )$ est du signe de f(x).

On a $C\left ( 5 \right )\: \approx \: 4,33$ , $C\left ( \alpha \right )\: \approx \: 1,29$ et $C\left ( 60 \right )\: \approx \: 7,06$ .

a. La fonction C est définie continue (car dérivable) strictement décroissante sur [5 ; α].
Or C(5) > 2 > C(α). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 2 admet une unique solution sur [5 ; α].
De même, la fonction C est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [α ; 60].
Or C(α) < 2 < C(60). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 2 admet une unique solution sur [α ; 60].
Par conséquent, l'équation C(x) = 2 admet deux solutions sur [5 ; 60].

b. La fonction C est définie continue (car dérivable) strictement décroissante sur [5 ; α]. Donc elle admet un maximum en 5 égal à C(5) < 5. Donc l'équation C(x) = 5. n'admet aucune solution sur [5 ; α].
La fonction C est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [α ; 60].
Or C(α) < 5 < C(60). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 5 admet une unique solution sur [α ; 60].
Par conséquent, l'équation C(x) = 5 admet une unique solution sur [5 ; 60].

Partie B

La fonction C admet un minimum en α, avec 25 < α < 26.
Or $C\left ( 25 \right )\: \approx \: 1,2873$ et $C\left ( 26 \right )\: \approx \: 1,2871$ . Donc le coût moyen minimal sera atteint pour une production de 26 vélos.

Continuité des fonctions d'une variable réelle

Énoncé

Partie A

Partie B

La bonne méthode un+1 = f(un).

PARTIE A

PARTIE B

Annexes

Corrigé

Partie A

Partie B

La bonne méthode u_n+1 = f(u_n).