Suites, sujet 1. Suites récurrentes d'ordre 1. D'après sujet Bac S, Amérique du Sud, novembre 1994

Énoncé

On considère la suite $\left ( u_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ à termes positifs, telle que u₀ = 5 et vérifiant pour tout entier naturel $n\: :\: u_{n+1}\: =\: \sqrt{u_{n}\: +\: 12}$ .

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, $u_{n}\geqslant 4$ .

2. On se propose, dans cette question, d'étudier de deux manières la convergence de cette suite.

Méthode 1.

a) Démontrer que la suite est décroissante.

b) Déduire de ce qui précède que la suite est convergente, puis trouver sa limite.

Méthode 2.

a. Montrer que pour tout $n\: \in\: \mathbb{N}$ , $u_{n+1}-4\leqslant \frac{1}{4}\left ( u_{n}\: -\: 4 \right )$ .

b. Montrer que pour tout $n\: \in\: \mathbb{N}$ , $0\leqslant u_{n}-4\leqslant \left (\frac{1}{4} \right )^{n}$ .

c. En déduire que $\left ( u_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ converge et donner sa limite.

La bonne méthode

1. On peut procéder par récurrence en utilisant le sens de variation de la fonction $f\: :\: x \mapsto \sqrt{x\: +\: 12}$ .

Méthode 1.

a. Il y a de nombreuses façons de résoudre cette question. On peut procéder par récurrence ou évaluer le signe de $u_{n+1}\: -\: u_{n}$ , par exemple.

b. La suite est décroissante et minorée. S'agissant de la limite l, il va s'agir de justifier qu'elle est solution de l'équation $x\: =\: \sqrt{x\: +\: 12}$ , et qu'elle est supérieure ou égale à 4.

Méthode 2.

a. On va utiliser la méthode dite de la quantité conjuguée

b. On va procéder par récurrence.

c. On doit penser au théorème des gendarmes.

Corrigé

On procède par récurrence. Soit $\left ( P_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ la suite de propositions de terme général : $u_{n} \geqslant 4$ .

• Initialisation : $u_{0}\: =\: 5\geqslant 4$ Donc la proposition est vraie au rang 0.

• Hérédité : Soit n un entier naturel tel que $\mathit{P}_{n}$ est vraie. On a $u_{n} \geqslant 4$ . Or la fonction $f\: :\: x\mapsto \sqrt{x\: +\: 12}$ est croissante sur $[0 ; +\infty[$ . Donc $f\left ( u_{n} \right )\geqslant f\left ( 4 \right )$ c'est-à-dire $u_{n+1}\geqslant 4$ . Donc $\mathit{P}_{n+1}$ est vraie et la proposition est héréditaire.

En vertu du principe de récurrence, $\mathit{P}_{n}$ est vraie pour tout entier naturel n donc $u_{n}\geqslant 4$ pour tout $n\: \in \mathbb{N}$ .

Méthode 1.

On peut procéder par récurrence. Soit $\left ( P_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ la suite de propositions de terme général : $u_{n+1}\leqslant u_{n}$ .

• Initialisation : $u_{1}\: =\: \sqrt{u_{0}\: +\: 12}\: =\: \sqrt{5\: +\: 12}\: =\: \sqrt{17}\: <\: 5$ . Donc $u_{1}\: \leqslant\: u_{0}$ et la proposition est vraie au rang 0.

• Hérédité : Soit n un entier naturel tel que $\mathit{P}_{n}$ est vraie. On a $4\: \leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n}$ . Or la fonction f est croissante sur $[0 ; +\infty[$ . Donc $f\left ( u_{n+1} \right )\leqslant f\left ( u_{n} \right )$ , c'est-à-dire $u_{n+2}\: \leqslant\: u_{n+1}$ . Donc $\mathit{P}_{n+1}$ est vraie et la proposition est héréditaire.

En vertu du principe de récurrence, $\mathit{P}_{n}$ est vraie pour tout entier naturel n, donc $u_{n+1}\leqslant u_{n}$ pour tout $n\: \in \mathbb{N}$ . La suite est donc bien décroissante.

b. La suite (u_n) est décroissante et minorée par 4 donc elle est convergente et sa limite l est telle que l $\geqslant 4$ . Par définition de la convergence, on a $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n+1}\: =\:l$ , donc $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n+1}\: =\,\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left ( u_{n} \right )\: =\,f\left ( l \right )$ puisque la fonction f est continue sur $[-12 ; +\infty[$ , donc en particulier en $l\: \in [4 ; +\infty[$ .
Or par unicité de la limite d'une suite convergente, $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n+1}\: =\: l$ et f(l) = l On va donc résoudre l'équation $\sqrt{12\: +\: x}\: =\: x$ , qui n'a de sens que pour $x\: \geqslant 0$ .
$\sqrt{12\: +\: x}\: =\: x\Leftrightarrow x-\sqrt{12\: +\: x}\: =\: 0\Leftrightarrow \frac{x^{2}\: -\: x\: -\: 12}{x+\sqrt{12\: +\: x}}\,=\: 0\Leftrightarrow \frac{\left ( x\: -\: 4 \right )\left ( x\: +\: 3 \right )}{x\: +\: \sqrt{12\: +\: x}}\: =\: 0$ .
On obtient donc x = 4 ou x = –3. Or $x\: \geqslant\: 0$ . Donc l'unique solution est x = –4 et on a $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}\: =\,4$ .

Méthode 2.

a. On va utiliser l'expression conjuguée de u_n+1 – 4. Quel que soit $n\: \in\: \mathbb{N}$ :
$u_{n+1}\: -\: 4\: =\: \sqrt{u_{n}\: +\: 12}\: -\: 4\: =\: \frac{\left ( \sqrt{u_{n}+\: 12}\: -\: 4 \right )\left ( \sqrt{u_{n}\: +\: 12}\: +\: 4 \right )}{\sqrt{u_{n}\,+ 12}\: +\: 4}$ .
On a donc $u_{n+1}\: -\: 4\: =\: \frac{u_{n}\: -\: 4}{\sqrt{u_{n}\: +\: 12}\: +\: 4}$ .
Or, $\sqrt{u_{n}\: +\: 12}\: \geqslant 0$ donc $\sqrt{u_{n}\: +\: 12}\: +\: 4\: \geqslant 4$ et $\frac{1}{\sqrt{u_{n}\: +\: 12}\: +\: 4}\: \leqslant \: \frac{1}{4}$ . En multipliant chaque terme de l'inégalité par $u_{n}\: -\: 4\: \geqslant 0$ , on obtient $u_{n+1}\: -\: 4\,\leqslant \frac{u_{n}\: -\: 4}{4}$ .

On procède par récurrence. Soit $\left ( \mathit{P}_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ la suite de propositions de terme général : $0\: \leqslant \: u_{n}\: -\: 4\: \leqslant \left ( \frac{1}{4} \right )^{n}$ .

• Initialisation : $u_{0}\: -\: 4\: =\: 5\: -\: 4\: =\: 1$ et $0\: \leqslant 1\: \leqslant \left ( \frac{1}{4} \right )^{0}$ . Donc la proposition est vraie au rang 0.

• Hérédité : Soit n un entier naturel tel que P_n est vraie. On a $0\: \leqslant u_{n}\: -\: 4\: \leqslant \left ( \frac{1}{4} \right )^{n}$ . D'où $0\: \leqslant \: u_{n+1}\: -\: 4\: \leqslant \frac{1}{4}\left ( u_{n}\: -\: 4 \right )\leqslant \frac{1}{4}\: \times \: \left ( \frac{1}{4} \right )^{n}$ , soit $0\: \leqslant \: u_{n+1}\: -\: 4\: \leqslant \left (\frac{1}{4} \right )^{n}$ . Donc $\mathit{P}_{n+1}$ est vraie et la proposition est héréditaire.

En vertu du principe de récurrence, $\mathit{P}_{n}$ est vraie pour tout entier naturel n, donc $0\: \leqslant \: u_{n}\: -\: 4\: \leqslant \left ( \frac{1}{4} \right )^{n}$ pour tout $n\: \in \: \mathbb{N}$ .

c. On sait que si $\left | q \right | \: < 1$ , alors $\lim_{n\rightarrow +\infty }q^{n}\: =\: 0$ . On a ainsi $\lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{4} \right )^{n}\: =\: 0$ , ce qui entraîne grâce au théorème des gendarmes que $\lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( u_{n}\: -\: 4\right )\: =\: 0$ . En d'autres termes, $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}\: =\: 4$ .

Voir le corrigé

Corrigé

On procède par récurrence. Soit $\left ( P_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ la suite de propositions de terme général : $u_{n} \geqslant 4$ .

• Initialisation : $u_{0}\: =\: 5\geqslant 4$ Donc la proposition est vraie au rang 0.

En vertu du principe de récurrence, $\mathit{P}_{n}$ est vraie pour tout entier naturel n donc $u_{n}\geqslant 4$ pour tout $n\: \in \mathbb{N}$ .

Méthode 1.

On peut procéder par récurrence. Soit $\left ( P_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ la suite de propositions de terme général : $u_{n+1}\leqslant u_{n}$ .

• Initialisation : $u_{1}\: =\: \sqrt{u_{0}\: +\: 12}\: =\: \sqrt{5\: +\: 12}\: =\: \sqrt{17}\: <\: 5$ . Donc $u_{1}\: \leqslant\: u_{0}$ et la proposition est vraie au rang 0.

En vertu du principe de récurrence, $\mathit{P}_{n}$ est vraie pour tout entier naturel n, donc $u_{n+1}\leqslant u_{n}$ pour tout $n\: \in \mathbb{N}$ . La suite est donc bien décroissante.

Méthode 2.

• Initialisation : $u_{0}\: -\: 4\: =\: 5\: -\: 4\: =\: 1$ et $0\: \leqslant 1\: \leqslant \left ( \frac{1}{4} \right )^{0}$ . Donc la proposition est vraie au rang 0.