Suites, sujet 2. Suite divergente. D'après sujet Bac S, Polynésie, juin 2012

Énoncé

On considère la suite (u_n) définie par $\left\{\begin{matrix}u_{0}= 0\\\mathrm{pour\, tout}\, n\in \mathbb{N},\, u_{n+1}= 3u_{n}-2n+3\end{matrix}\right.$ .

1. Calculer u₁ et u₂.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, $u_{n}\geqslant n$ .

b. Justifier que la suite (u_n) est croissante.

c. Déterminer la limite de la suite (u_n).

2. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier n₀ tel que, pour tout $n\geqslant n_{0}$ , $u_{n}\geqslant 10^{p}$ ? L'ensemble des entiers n₀ tels que $n\geqslant n_{0}\Rightarrow u_{n}\geqslant 10^{p}$ est donc un sous-ensemble non vide de

, ce sous-ensemble admet donc un plus petit élément m₀. On s'intéresse maintenant au plus petit entier m₀.

3. Proposer un script en Python qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier m₀ tel que $n\geqslant m_{0}\Rightarrow u_{n}\geqslant 10^{p}$ . Déterminer à l'aide du programme cet entier m₀ pour la valeur p = 3.

La bonne méthode

1. On remplace n par 0 puis par 1 dans la relation définissant la suite.

2. a. On procède, comme l'énoncé le demande, par récurrence. On prend bien soin d'argumenter correctement l'hérédité.

2. b. On évalue le signe de u_n+1 − u_n à la lumière de ce qui précède.

2. c. On utilise le théorème de comparaison.

3. Il faut revenir à la définition du résultat obtenu à la question précédente.

4. Il s'agit d'un algorithme dit de seuil, on construit une boucle tant que.

Voir le corrigé

Corrigé

1. On a u₁ = 3u₀ − 2 × 0 + 3 = 3 et u₂ = 3u₁ − 2 × 1 + 3 = 10.

a. On procède par récurrence. Soit $\left ( P_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ la suite de propositions de terme général : u_n supérieur ou égal

• Initialisation : u₀ = 0 supérieur ou égal

0. Donc la proposition est vraie au rang 0.

• Hérédité : Soit n un entier naturel tel que P_n est vraie. On a u_n supérieur ou égal

n. Or u_n+1 = 3u_n − 2n + 3 supérieur ou égal

3n − 2n + 3 supérieur ou égal

n + 1. Donc P_n+1 est vraie et la proposition est héréditaire.

En vertu du principe de récurrence, P_n est vraie pour tout entier naturel n, donc u_n supérieur ou égal

n pour tout $n\in \mathbb{N}$ .

b. Quel que soit $n\in \mathbb{N}$ , u_n+1 − u_n = 2u_n − 2n + 3 = 2(u_n − n) + 3 supérieur ou égal

3 > 0, puisque u_n − n supérieur ou égal

0 pour tout $n\in \mathbb{N}$ . La suite (u_n) est donc croissante.

c. La suite (u_n) est croissante et non majorée, car pour tout $n\in \mathbb{N}$ , u_n supérieur ou égal

n. On a donc $\lim_{n\rightarrow +\infty }\: u_{n}= +\infty$ .

2. Comme la suite tend vers $+\infty$ , par définition, quel que soit le réel A, il existe un entier N tel que quel que soit $n\in \mathbb{N}$ , $n\, \geqslant N\Rightarrow u_{n}\geqslant A$ . Pour A = 10^p, il existe au moins un entier n₀ tel que quel que soit $n\in \mathbb{N}$ , $n\, \geqslant n_{0}\Rightarrow u_{n}\, \geqslant 10^{p}$ .

3. On construit le script Python sous la forme d'une fonction Seuil(p) dont l'argument p est l'entier exposant de 10. Le rang est contenu dans la variable n qui est initialisée à 0 et qui augmente d'une unité tant que le test u_n supérieur ou égal

10^p n'est pas vérifié. Chaque terme de la suite (u_n) est contenu dans la variable u, celle-ci est initialisée à 0 et se transforme en prenant la valeur donnée par la définition de la suite.

	def Seuil(p):
	u=0
	n=0
	while u<10**p:
	u=3u-2n+3
	n=n+1
	return n

Si on fait fonctionner ce script en tapant print(Seuil(3)), on lit la réponse 7. L'entier 7 est le premier entier pour lequel u_n > 1000.