Limites des fonctions, sujet 1

Voir le corrigé

Énoncé

PARTIE A

Soit f la fonction définie sur Ensemble R

par f (x) = x e^1−x.

1. Vérifier que pour tout réel x, on a $f(x)= \mathrm{e}\times \frac{x}{\mathrm{e}^{x}}$ .

2. Déterminer la limite de la fonction f en $-\infty$ .

3. Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$ . Interpréter graphiquement cette limite.

4. Déterminer la dérivée de la fonction f.

5. Étudier les variations de la fonction f sur Ensemble R

, puis dresser le tableau de variations.

PARTIE B

Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions g_n et h_n définies sur Ensemble R

par :
g_n(x) = 1 + x + x² + … + xⁿ et h_n (x) = 1 + 2x + 3x² + … + nxⁿ⁻¹.

1. Vérifier que pour tout réel x, (1 − x) g_n (x) = 1 − xⁿ⁺¹.
On obtient alors, pour tout réel $x\neq 1$ : $g_{x}(x)= \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ .

2. Comparer les fonctions h_n et ${g}'_{n}$ , ${g}'_{n}$ étant la dérivée de g_n. En déduire que, pour tout réel $x\neq 1$ : $h_{n}(x)= \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(1-x)^{2}}$ .

3. Soit S_n = f (1) + f (2) + … + f (n), f étant la fonction définie dans la partie A.
En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de S_n puis sa limite quand n tend vers $+\infty$ .

La bonne méthode

PARTIE A

1. Utiliser les règles de calcul de la fonction exponentielle.

2. Limite par produit et composition de fonctions.

3. Utiliser le résultat de la question 1, sachant que $\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{e^{x}}{x}= +\infty$ .

4. Dériver un produit de fonctions.

5. Étudier le signe de la dérivée et faire le tableau de variations.

PARTIE B

1. Remplacer g_n(x) et développer.

2. Utiliser la dérivée du quotient de deux fonctions. Remarquer une égalité grâce au résultat du 1.

3. Introduire dans S_n la fonction f (x) = x e^1−x, puis remarquer l'égalité avec h_n(e⁻¹). Enfin, utiliser $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}= +\infty$ .

Voir le corrigé

Corrigé

PARTIE A

1. $f(x) = x\: \mathrm{e}^{1-x}= x\times \frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{x}}= \mathrm{e}\times \frac{x}{\mathrm{e}^{x}}$ .

2. $\lim_{x\rightarrow -\infty }(1-x)\, = +\infty$ , donc $\lim_{x\rightarrow -\infty }\mathrm{e}^{1-x}= +\infty$ , par composition. Puis, par produit, on obtient que $\lim_{x\rightarrow -\infty }x\, \mathrm{e}^{1-x}= -\infty$ .
Donc $\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)= -\infty$ .

3. On sait que $\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}= +\infty$ , donc $\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{x}{\mathrm{e}^{x}}= 0$ . D'où $\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)= 0$ .
Par conséquent, la courbe représentant la fonction f admet la droite d'équation y = 0 comme asymptote horizontale en $+\infty$ .

4. f (x) = x e^1−x = u (x) ×v (x) avec u (x) = x et v (x) = e^1−x. On a {u}'(x) = 1

, ${v}'(x) = -\mathrm{e}^{1-x}$ et {f}'= {u}'v+u{v}'

.
Donc ${f}'(x)= 1\times\mathrm{ e}^{1-x}+x\times \left ( \mathrm{e}^{1-x} \right )= (1-x)\mathrm{e}^{1-x}$ .

5. e^1−x > 0 donc {f}'(x)

est du même signe que 1 − x.
On a donc le tableau de variations suivant :

PARTIE B

1. (1 − x) g_n (x) = (1 − x)(1 + x + x² + … + xⁿ)
(1 − x) g_n(x) = 1 + x + x² + … + xⁿ − x −x² −x³ − … − xⁿ⁺¹
(1 − x) g_n (x) = 1 −xⁿ⁺¹.
On obtient alors, pour tout réel $x\neq 1$ : $g_{n}(x)= \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ .

2. On a ${g}'_{n}(x)= 0+1+2x+...+nx^{n-1}= h_{n}(x)$ .
Or $g_{n}(x)= \frac{1-x^{n+1}}{1-x}= \frac{u(x)}{v(x)}$ avec u(x) = 1 − xⁿ⁺¹ et v (x) = 1 − x. On a ${u}'(x)= -(n+1)x^{n}$ , {v}'(x)= -1

et $g_{n}= \frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}$ .
Donc $h_{n}(x)= {g}'_{n}(x)= \frac{-(n+1)x^{n}\times (1-x)-\left ( 1-x^{n+1} \right )\times (-1)}{(1-x)^{2}}$
$h_{n}(x)= \frac{-(n+1)x^{n}+(n+1)x^{n+1}+1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}$
$h_{n}(x)= \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(1-x)^{2}}$

3. S_n = 1e¹⁻¹ + 2e¹⁻² + … + ne¹⁻ⁿ
$S_{n}= 1+2\mathrm{e}^{-1}+...+n(e^{-1})^{n-1}= h_{n}(\mathrm{e}^{-1})$
Or $h_{n}(\mathrm{e}^{-1})= \frac{n(\mathrm{e}^{-1})^{n+1}-(n+1)(\mathrm{e}^{-1})^{n}+1}{(1-\mathrm{e}^{-1})^{2}}$
Donc $S_{n}= \frac{\frac{n}{\mathrm{e}^{n+1}}-\frac{n+1}{\mathrm{e}^{n}}+1}{\left ( 1-\frac{1}{\mathrm{e}} \right )^{2}}$ .
On a $\frac{n}{\mathrm{e}^{n+1}}= \frac{n}{n+1}\times \frac{n+1}{\mathrm{e}^{n+1}}$ . Or $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{n+1}= 1$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n+1}{\mathrm{e}^{n+1}}= \lim_{N\rightarrow +\infty }\frac{N}{\mathrm{e}^{N}}=0$ . Donc $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n+1}}= 0$ .
De même, $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n+1}{\mathrm{e}^{n}}= \lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( \frac{n}{\mathrm{e}^{n}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{n}} \right )=0+0+= 0$ .
On a donc $\lim_{n\rightarrow +\infty }S_{n}= \frac{1}{\left ( 1-\frac{1}{\mathrm{e}} \right )^{2}}= \frac{1}{\left ( \frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}}^{} \right )^{2}}= \frac{\mathrm{e}^{2}}{(\mathrm{e}-1)^{2}}$ .