Somme de variables aléatoires

Énoncé

Partie 1

Un point lumineux se déplace sur une droite à partir de l'origine. À chaque seconde, il se déplace d'une unité vers la droite avec la probabilité p, ou vers la gauche avec la probabilité 1 −p, les déplacements étant supposés indépendants. On note X son abscisse après n secondes. Quelle est la loi de X et son espérance ?
Il pourra être utile d'introduire la suite de variables aléatoires $(X_{i})_{1\leqslant 1\leqslant n}$ , où X_i est la variable aléatoire qui vaut 1 si le i-ème déplacement s'effectue vers la droite, et −1 si ce déplacement s'effectue vers la gauche, et de considérer Y_i la variable aléatoire définie par $Y_{i}\: = \: \frac{X_{i}\: +\: 1}{2}$ .

Partie 2

Soit n un entier naturel non nul. Soit $(X_{i})_{1\leqslant 1\leqslant n}$ , une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre $p\: \in \: ]0\: ;\: 1[$ . On note $\alpha \: = \sum_{i= 1}^{n}p_{i}$ .

1. Montrer que $\sum_{i= 1}^{n}\left ( p_{i}-\frac{\alpha }{n} \right )^{2}\: = \sum_{i= 1}^{n}p_{i}^{2}\: -\: \frac{\alpha ^{2}}{n}$ .

2. Calculer $v\: = \: V\left ( \sum_{i= 1}^{n}X_{i} \right )$ .

3. Déterminer les valeurs de p_i maximisant v.

La bonne méthode

Partie 1

On utilise l'indication de l'énoncé et on se ramène à une situation binomiale pour faciliter les calculs.

Partie 2

1. Il suffit de développer l'expression de gauche pour obtenir celle de droite.

2. On n'oublie pas que les variables sont indépendantes et qu'elles suivent toutes une loi de Bernoulli.

3. Il suffit de mettre en relation les deux premières questions.

Voir le corrigé

Corrigé

Partie 1

En suivant l'indication de l'énoncé, on écrit que $X\: = \: \sum_{i=1}^{n}X_{i}$ . Par ailleurs, pour tout entier naturel i compris entre 1 et n, X_i = 1 si et seulement si $Y_{i}\: = \: \frac{X_{i}\: +\: 1}{2}\: = 1$ , et X_i = −1 si et seulement si $Y_{i}\: = \: \frac{X_{i}\: +\: 1}{2}\: = 0$ . On en déduit que $P(X_{i}\: = 1)\: = P(Y_{i}\: = 1)\: = \: p$ et $P(X_{i}\: = -1)\: = P(Y_{i}\: = 0)\: = 1\: -\: p$ . La variable Y_i est donc la variable de Bernoulli de paramètre p. Les variables Y_i sont mutuellement indépendantes puisque les X_i le sont.
Soit la variable Y définie par $Y\: = \sum_{i=1}^{n}Y_{i}$ . La variable Y est la somme de n variables indépendantes de Bernoulli de même paramètre p. Ainsi, Y suit la loi binominale de paramètres n et p. On en déduit que $Y(\Omega)= \left [ 0\: ;\: n \right ]$ .
On a $Y\: = \sum_{i=1}^{n}Y_{i}\: = \sum_{i=1}^{n}\frac{X_{i}\: +\: 1}{2}\: = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\: +\: \frac{n}{2}\: = \frac{X}{2}\: +\: \frac{n}{2}$ , soit X = 2Y − n. L'ensemble des valeurs prises par X est donc l'ensemble $\left \{ 2k\: -\: n,\: k\: \in \left [ 0\: ;\: n \right ] \right \}\: = \left \{ -n\: ;\: 2\: -\: n\: ;\: 4\: -\: n\: ;\cdots \: ;\: n\: -\: 4\: ;\: n\: -\: 2\: ;\: n \right \}$ .
Quel que soit $x\: \in \: X(\Omega)$ , il existe $k\: \in \: [1\: ;\: n]$ tel que x = 2k − n, et :
$P(X\: = x)\: = P(X\: = 2k\: -\: n)\: = P(Y\: = k)\: = \binom{n}{k}p^{k}\, \left ( 1\: -\: p\right )^{n-k}$ .
Ainsi, on obtient la loi de X :
Quel que soit $x\: \in \: X(\Omega)$ , $P(X\: = x)\: = \binom{n}{\frac{x\: +\: n}{2}}p^{\frac{x\: +\: n}{2}}(1\: -\: p)^{\frac{n-x}{2}}$ .
S'agissant de l'espérance de X, il serait extrêmement maladroit d'utiliser la loi de X pour l'obtenir, on peut contourner la difficulté de deux manières :

• E(X) = E(2Y − n) = 2E(Y) − n, par linéarité de l'espérance, et comme E(Y) = np, on trouve E(X) = 2(np) − n = n (2p − 1).

• Une autre façon de procéder est de calculer E(X₁) = −1 × (1 − p) + 1 × p = 2p − 1, et d'utiliser que $E\left ( \sum_{i=1}^{n}X_{i} \right )\: = \sum_{i=1}^{n}E(X_{i})\: = n(2p\: -\: 1)$ .

Partie 2

1. On a :
$\sum_{i=1}^{n}\left ( p_{i}\: -\frac{\alpha }{n} \right )^{2} = \sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}\: -\: 2\frac{\alpha}{n}\sum_{i=1}^{n}p_{i}\: +\: n\frac{\alpha ^{2}}{n^{2}}\: =\: \sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}\: -\: 2\frac{\alpha ^{2}}{n}\: +\: \frac{\alpha ^{2}}{n}\: =\: \sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}\: -\: \frac{\alpha ^{2}}{n}$ .

2. Comme chaque variable X_i suit la loi de Bernoulli de paramètre p_i, on a E(X_i) = p_i et $V\left ( X_{i} \right )\: = \left ( 0\: -\: p_{i} \right )^{2}\: \times \: \left ( 1\: -\: p_{i} \right )\: +\: \left ( 1\: -\: p_{i} \right )^{2}\: \times \: p_{i}\: = p_{i}\left ( 1\: -\: p_{i} \right )$ .
Par ailleurs, les variables sont indépendantes, donc :
$V\left ( \sum_{i=1}^{n}X_{i} \right )\: = \sum_{i=1}^{n}V\left ( X_{i} \right )\: = \sum_{i=1}^{n}p_{i}\left ( 1\: -\: p_{i} \right )\: = \sum_{i=1}^{n}p_{i}\: -\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}\: = \alpha \: -\: \sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}$

3. La formule précédente montre que la variance est maximale lorsque $\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}$ est minimale. Or, $\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}\: = \sum_{i=1}^{n}\left (p_{i}\: -\frac{\alpha}{n} \right )^{2}\: +\: \frac{\alpha ^{2}}{n}$ , donc $\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}$ est minimale pour $p_{i}\: = \frac{\mathrm{\alpha} }{n}$ .
La variance de X est maximale pour les p_i tous égaux à $\frac{\mathrm{\alpha} }{n}$ . La loi de X est alors la loi binomiale de paramètres n et $p\: = \frac{\mathrm{\alpha} }{n}$ .