Représentations paramétriques et équations cartésiennes. D'après sujet Bac S, Pondichéry, mai 2018

Énoncé

Dans l'espace muni du repère orthonormé $\left ( \mathrm{O}\, ; \vec{i}\, ; \vec{j}\, ; \vec{k} \right )$ d'unité 1 cm, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives (2 ; 1 ; 4), (4 ; –1 ; 0), (0 ; 3 ; 2) et (4 ; 3 ; –2).

1. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).

Soit M un point de la droite (CD).

a. Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale.

b. On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées (3 ; 3 ; –1) Vérifier que les droites (CD) et (BH) sont perpendiculaires.

c. Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à 12 cm².

a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BCD).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par A et orthogonale au plan (BCD).

d. Démontrer que le point I, intersection de la droite Δ et du plan (BCD) a pour coordonnées $\left ( \frac{2}{3}\,\, ; \frac{1}{3}\,\, ; \frac{8}{3} \right )$

5. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

La bonne méthode

1. Autrement dit les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BA}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ sont-ils coplanaires ?

2. (CD) est l'ensemble des points M(x ; y ; z) alignés avec C et D.

a. La question précédente permet de caractériser les points de (CD) en fonction d'un paramètre t, on calcule BM² en fonction de t, et on détermine la valeur de t qui minimise la fonction.

b. Le produit scalaire est le bon outil.

c. Ce qui précède permet d'affirmer que [BH] est la hauteur du triangle BCD issue de B.

a. Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

b. Si une droite est orthogonale à un plan alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

c. On connaît un point de la droite et un vecteur directeur.

d. Le point d'intersection est élément de (Δ) ce qui contraint ses coordonnées. Et celles-ci vérifient aussi une équation cartésienne de (BCD).

5. Le volume d'un tétraèdre est $V=\frac{B\times h}{3}$ où B désigne la surface de la base et h la hauteur du solide.

Corrigé

1. On considère les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BD}}\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}$ Ils ne sont pas colinéaires, donc les points B, C et D ne sont pas alignés : ils déterminent un plan unique (BCD) dont un repère est $\left ( \mathrm{B} ; \vec{u}, \vec{v} \right )$ où $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}$ Les quatre points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si $\mathrm{A}\: \in \left ( \mathrm{BCD }\right )$ soit si et seulement si il existe un unique couple de réels (a ; b) tel que $\overrightarrow{\mathrm{BA}} = \vec{au} + \vec{bv}$ en d'autres termes, si et seulement si le système $\left\{\begin{matrix}-2 = -2a\\2 = 2a + 2b\\4 = a-b\end{matrix}\right.$ d'inconnues a et b admet une unique solution. De façon évidente, ce système est équivalent à $\left\{\begin{matrix}a = 1\\b = 0\\4 = a-b\end{matrix}\right.$ qui n'admet aucune solution. Les points A, B, C et D ne sont dont pas coplanaires. Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BA}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ forment une base de l'espace des vecteurs et ABCD est un tétraèdre.

2. La droite (CD) passe par C et est dirigée par tout vecteur non nul et colinéaire à $\overrightarrow{\mathrm{CD}}\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}$ par exemple $\vec{w}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ Un point M(x ; y ; z) appartient à la droite (CD) si et seulement si $\overrightarrow{\mathrm{CM}}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires, soit si et seulement si il existe un réel t tel que $\overrightarrow{\mathrm{CM}} = \vec{tw}$ L'écriture sous forme d'un système de cette équivalence donne un système d'équations paramétriques de (CD).
$\left\{\begin{matrix}x=t\\y-3=0\\z-2=-t\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=t\\y=3\\z=2-t\end{matrix}\right.,\: t\in \mathbb{R}.$

Soit $\mathrm{M}\in \left ( \mathrm{CD} \right )$ il existe $t\in \mathbb{R}$ tel que M ait pour coordonnées (t ; 3 ; 2 – t)

a. Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{BM}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}t-4\\4\\2-t\end{pmatrix}.$
Ainsi, BM² = (t – 4)² + 4² + (2 – t)² = 2(t² – 6t + 18) BM est une distance, elle est positive et donc minimale quand son carré l'est. Donc BM est minimale lorsque t² – 6t + 18 est minimal. Or, il est bien connu que tout polynôme du second degré de la forme at² + bt + c avec a > 0 admet un minimum en $t=-\frac{b}{2a}$ Ici, BM est donc minimale pour t = 3 soit au point de coordonnées (3 ; 3 ; –1) Cette distance minimale vaut $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$

b. On a H(3 ; 3 ; –1) Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{BH}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}$ On sait que $\left ( \mathrm{BH}\right ) \perp \left ( \mathrm{CD} \right )$ si et seulement si $\overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} = 0$ . Or $\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} = \left ( -1 \right ) \times 4 + 4 \times 0 + \left ( -1 \right ) \times \left ( -4 \right ) = 0$ . Les droites (BH) et (CD) sont orthogonales et même perpendiculaires puisqu'elles se coupent en H.

c. Ce qui précède montre que H est le projeté orthogonal de B sur (CD) Ce projeté orthogonal correspond, sans surprise, au minimum de la distance du point B à la droite (CD) et fait de [BM] la hauteur issue de B dans le triangle BCD.
L'aire du triangle est $\mathit{A}_{\mathrm{BCD}} = \frac{\mathrm{CD} \times \mathrm{BH}}{2} = \frac{\sqrt{32} \times \sqrt{18}}{2} = \frac{\sqrt{2^{6} \times 3^{2}}}{2} = 12\: \mathrm{cm}^{2}.$

a. Tout vecteur dit normal au plan (BCD) est non nul et dirige toutes les droites orthogonales au plan. On en déduit que $\vec{n}$ est normal au plan (BCD) dont un repère est $\left (\mathrm{B}; \vec{u}, \vec{v} \right )$ si et seulement si $\vec{n}$ est orthogonal à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$ . Or $\vec{n} \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix} = -4 + 2 + 2 = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix} = 0 + 2 - 2 = 0$ . On a donc $\left\{\begin{matrix}\vec{n}\neq \vec{0}\\\vec{n}\cdot \vec{u} = 0\\\vec{n}\cdot \vec{v} = 0\end{matrix}\right.$ , donc $\vec{n}$ est normal au plan (BCD).

b. Le point M appartient à (BCD) si et seulement si B = M ou (BM) est une droite du plan (BCD) et à ce titre orthogonale à toutes les droites dirigées par $\vec{n}$ .
Il en résulte que $\mathrm{M}\left ( x\: ; y\: ; z \right )\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{BM}}\cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 2\left ( x-4 \right )+1\left ( y+1 \right )+2\left ( z-0 \right )=0\Leftrightarrow 2x + y + 2z = 7.$
Une équation cartésienne de (BCD) est 2x + y + 2z = 7.

c. La droite Δ est orthogonale au plan (BCD). Elle est donc dirigée par $\vec{n}$ et passe par A. Un système d'équations paramétriques de cette droite est donc :
$\left\{\begin{matrix}x = 2 + 2t\\y = 1 + t\\z = 4 + 2t\end{matrix}\right.,\: t \in \mathbb{R}.$

d. La droite Δ est orthogonale au plan (BCD) donc elle le coupe en un unique point I(x_I ; y_I ; z_I).
$\mathrm{I}\, \in \, \Delta$ donc il existe un unique $\mathrm{\theta }\, \in \, \mathbb{R}$ tel que $\left\{\begin{matrix}x_{\mathrm{I}} = 2 + 2\mathrm{\theta}\\y_{\mathrm{I}} = 1 + \mathrm{\theta }.\\z_{\mathrm{I}} = 4 + 2\mathrm{\theta }\end{matrix}\right.$
$\mathrm{I}\, \in \, \left ( \mathrm{BCD }\right )$ donc 2x_I + y_I + 2z_I = 7.
On en déduit que $2\left ( 2\, +\, 2\mathrm{\theta } \right )\, +\, \left ( 1\, +\, \mathrm{\theta } \right )\, +\, 2\left ( 4\, +\, 2\mathrm{\theta } \right ) = 7 \Leftrightarrow 9\mathrm{\theta }\, +\, 13 = 7$ . Donc $\mathrm{\theta } = -\frac{2}{3}$ On en déduit que $\left\{\begin{matrix}x_{\mathrm{I}} = 2 - \frac{4}{3}\\y_{\mathrm{I}} = 1 - \frac{2}{3}\\z_{\mathrm{I}} = 4 - \frac{4}{3}\end{matrix}\right.$ et donc I a pour coordonnées $\left ( \frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{8}{3} \right )$ .

5. Δ est perpendiculaire au plan (BCD) en I et passe par A. On en déduit que [AI] est la hauteur du tétraèdre ABCD de base BCD. On connaît l'aire du triangle BCD. Il reste à déterminer la longueur AI. Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AI}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}\end{pmatrix}$ . On en déduit que $\mathrm{AI} = \sqrt{\left ( -\frac{4}{3} \right )^{2} + \left ( \frac{2}{3} \right )^{2} + \left ( \frac{4}{3} \right )^{2}} = 2.$
Enfin, $\mathit{V}_{\mathrm{ABCD}} = \frac{\mathrm{AI}\, \times\, \mathit{A}_{\mathrm{BCD}}}{3} = 8$ . Le volume du tétraèdre est 8 cm₃

Voir le corrigé

Corrigé

Soit $\mathrm{M}\in \left ( \mathrm{CD} \right )$ il existe $t\in \mathbb{R}$ tel que M ait pour coordonnées (t ; 3 ; 2 – t)