Combinatoire et dénombrement

Énoncé

Lors d'une course au trot attelé, le départ à l'autostart permet aux chevaux de se lancer à la bonne allure. Les chevaux sont placés sur deux lignes de 9 chevaux (au maximum).
Il y a 10 chevaux au départ de la course.
Les parieurs essaient de trouver les 3 chevaux gagnants (dans l'ordre ou le désordre).

1. La position au départ est très importante. Combien de positions différentes de chevaux peut-on avoir au départ de la course ?

2. Quel nombre total de possibilités de tiercés dans l'ordre peut-on réaliser ?

3. Quel nombre total de possibilités de tiercés dans le désordre peut-on réaliser ?

La bonne méthode

1. Nous avons un ensemble fini dont il faut chercher toutes les permutations possibles.

2. Il y a la notion d'ordre dans l'arrivée des chevaux, il faut donc chercher les arrangements.

3. Il n'y a pas la notion d'ordre dans l'arrivée des chevaux, il faut donc chercher les combinaisons.

Voir le corrigé

Corrigé

1. Nous avons les permutations d'un ensemble à 18 éléments, soit :
10 ! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 628 800.
Il y a 3 628 800 positions différentes de chevaux au départ de la course.

2. Nous avons un arrangement de 3 parmi 10, soit :
$\frac{10!}{\left ( 10-3 \right )!}= \frac{10!}{7!}= 10\times 9\times 8= 720$ .
Il y a 720 tiercés possibles dans l'ordre.

3. Nous avons une combinaison de 3 parmi 10, soit :
$\binom{10}{3}= \frac{10!}{3!\left ( 10-3 \right )}= 120.$
Il y a 120 tiercés possibles dans le désordre.