Proportionnalité (2) : proportions, pourcentages et applications

1. Proportions

• Une proportion est un rapport entre le nombre d'éléments d'un ensemble A et le nombre d'éléments d'un ensemble B qui est extrait de l'ensemble A.

2. Pourcentages

• Un pourcentage est une proportion de dénominateur 100.

• Propriétés : Un pourcentage de t % traduit une situation de proportionnalité de coefficient $\frac{f}{100}$ .
Appliquer t % à un nombre n revient donc à calculer : $\frac{n\, \times \, f}{100}$ .

Exemple 1 : Dans un collège, 264 élèves sur 550 sont demi-pensionnaires, alors on calcule : $\frac{264}{550}\, =\, 0,48\, =\, 48\%$ .
Exemple 2 : Dans une classe de 30 élèves, on sait que 20 % des élèves pratiquent un instrument de musique en dehors du collège soit :

Nombre d'élèves	30	x
Pourcentage d'élèves (en %)	100	20

Pour passer de 100 % à 20 %, il faut diviser par 5. Ainsi, 6 élèves de la classe pratiquent un instrument de musique en dehors du collège.

3. Échelle

• L'échelle d'un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles, exprimé avec la même unité : $\, e=\frac{\textrm{distance}\, \textrm{sur}\, \textrm{le}\, \textrm{plan}}{\textrm{distance}\, \textrm{r} \acute{e}\textrm{elle}}$ .

Exemple : Sur un plan de maison, à l'échelle 1/200, la pièce de vie est représentée par un rectangle de 9 cm de long sur 5 cm de large. On peut alors utiliser le tableau :

Dimensions sur le plan (en cm)	9	5	1
Dimension réelles (en cm)	L	l	200

4. Vitesse moyenne

• Lors d'un trajet en voiture, la vitesse n'est pas constante. La vitesse moyenne est la vitesse qu'aurait cette voiture en parcourant la même distance pendant la même durée, à la même vitesse.

• La vitesse moyenne sur un trajet est donnée par la formule : $v\, =\, \frac{d}{t}$ .

Exemple : Un piéton marche pendant 2 minutes et 40 secondes à la vitesse moyenne de 1,5 m/s. On convertit les 2 minutes en 120 secondes. Il a marché pendant 160 secondes.
On fait : $v\, =\, \frac{d}{t}$ soit 1,5\, =\, $\frac{d}{160}$ donc d = 160 × 1,5 = 240 m.

• Remarque : caractérisation graphique de la proportionnalité.
Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement, dans un repère, par des points alignés avec l'origine du repère.

Exercice n°1

Réponds aux questions posées.

Écris la réponse dans la zone colorée.

A. Dans une école de 1 000 étudiants, 40 % des étudiants aiment le rap.
Combien d'étudiants aiment le rap dans cette école ?

B. Dans une association de 160 personnes, 25 % des membres ne mangent pas de chocolat. Combien de personnes ne mangent pas de chocolat dans cette association ?

C. Dans une entreprise de 300 employés, 10 % d'entre eux portent des lunettes.
Combien de personnes ne portent pas de lunettes dans cette entreprise ?

Exercice n°2

Calcule les montants en euros ou les taux en pourcentage et complète.

Écris la réponse dans la zone colorée.

A. Lors d'une élection de délégué, Zoé est élue avec 26 voix sur 32 votants.
Le pourcentage de voix qu'elle a reçue lors de cette élection est : .

B. Une télévision vendue à 890 euros voit son prix baisser de 20 %. Le montant de la réduction est de euros et donc son nouveau prix sera de euros.

890 × 0,2 = 178 On soustrait ensuite 178 à 890 pour obtenir le nouveau prix.

Exercice n°3

Parmi ces graphiques, quel est celui qui représente une situation de proportionnalité ?

Proportionnalité (2) : proportions, pourcentages et applications - illustration 1

Graphique 1

Graphique 2

Graphique 3

Graphique 4

Exercice n°4

Trouve les distances manquantes.

Écris les réponses dans les zones colorées.

A. Sur un plan à l'échelle 1/200, la distance entre deux points est de 25 cm.
La distance réelle est alors de cm soit m.

B. Sur ce même plan, on souhaite représenter la distance réelle de 8 m.
Cette distance sur le plan est alors de m soit cm.

$\frac{8}{100}\, =\, 0,04$