Proportionnalité (2) : proportions, pourcentages et applications

notion

Fiche

1. Proportions

• Une proportion est un rapport entre le nombre d'éléments d'un ensemble A et le nombre d'éléments d'un ensemble B qui est extrait de l'ensemble A.

2. Pourcentages

• Un pourcentage est une proportion de dénominateur 100.

• Propriétés : Un pourcentage de t % traduit une situation de proportionnalité de coefficient $\frac{f}{100}$ .
Appliquer t % à un nombre n revient donc à calculer : $\frac{n\, \times \, f}{100}$ .

Exemple 1 : Dans un collège, 264 élèves sur 550 sont demi-pensionnaires, alors on calcule : $\frac{264}{550}\, =\, 0,48\, =\, 48\%$ .
Exemple 2 : Dans une classe de 30 élèves, on sait que 20 % des élèves pratiquent un instrument de musique en dehors du collège soit :

Nombre d'élèves	30	x
Pourcentage d'élèves (en %)	100	20

Pour passer de 100 % à 20 %, il faut diviser par 5. Ainsi, 6 élèves de la classe pratiquent un instrument de musique en dehors du collège.

3. Échelle

• L'échelle d'un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles, exprimé avec la même unité : $\, e=\frac{\textrm{distance}\, \textrm{sur}\, \textrm{le}\, \textrm{plan}}{\textrm{distance}\, \textrm{r} \acute{e}\textrm{elle}}$ .

Exemple : Sur un plan de maison, à l'échelle 1/200, la pièce de vie est représentée par un rectangle de 9 cm de long sur 5 cm de large. On peut alors utiliser le tableau :

Dimensions sur le plan (en cm)	9	5	1
Dimension réelles (en cm)	L	l	200

4. Vitesse moyenne

• Lors d'un trajet en voiture, la vitesse n'est pas constante. La vitesse moyenne est la vitesse qu'aurait cette voiture en parcourant la même distance pendant la même durée, à la même vitesse.

• La vitesse moyenne sur un trajet est donnée par la formule : $v\, =\, \frac{d}{t}$ .

Exemple : Un piéton marche pendant 2 minutes et 40 secondes à la vitesse moyenne de 1,5 m/s. On convertit les 2 minutes en 120 secondes. Il a marché pendant 160 secondes.
On fait : $v\, =\, \frac{d}{t}$ soit 1,5\, =\, $\frac{d}{160}$ donc d = 160 × 1,5 = 240 m.

• Remarque : caractérisation graphique de la proportionnalité.
Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement, dans un repère, par des points alignés avec l'origine du repère.