Sujet national, juin 2018, exercice 4

Énoncé

14 points
La figure ci-dessous n'est pas représentée en vraie grandeur.
Les points C, B et E sont alignés.
Le triangle ABC est rectangle en A.
Le triangle BDC est rectangle en B.
Sujet national, juin 2018, exercice 4 - illustration 1
1. Montrer que la longueur BD est égale à 4 cm.
Pensez à utiliser le théorème de Pythagore.
2. Montrer que les triangles CBD et BFE sont semblables.
Deux triangles sont semblables si les longueurs des côtés de l'un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l'autre.
3. Sophie affirme que l'angle \widehat{\mathrm{BFE}} est un angle droit. A-t-elle raison ?
Pensez à utiliser une propriété des triangles semblables.
4. Max affirme que l'angle \widehat{\mathrm{ACD}} est un angle droit. A-t-il raison ?
Pensez à utiliser une relation trigonométrique.

Corrigé

1. Dans le triangle BDC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, on a : CD2 = BC2 + BD2.
On a donc : BD2 = CD2 − BC2 = 8,52 − 7,52 = 72,25 − 56,25 = 16 car CD = 8,5 cm et BC = 7,5 cm.
On en déduit BD = \sqrt{16} = 4 cm.
La longueur BD est égale à 4 cm.
2. Deux triangles sont semblables si les longueurs des côtés de l'un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l'autre.
Montrons donc que les longueurs des côtés du triangle BFE sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle CBD.
On remarque que :
  • \frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{BD}} = \frac{3,2}{4} = 0,8 ;
  • \frac{\mathrm{FB}}{\mathrm{BC}} = \frac{6}{7,5} = 0,8 ;
  • \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CD}} = \frac{6,8}{8,5} = 0,8.
Les longueurs des côtés du triangle BFE sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle CBD, donc les triangles CBD et BFE sont semblables.
3.  Les triangles CBD et BFE sont semblables et les angles de triangles semblables sont 2 à 2 égaux.
Le triangle BDC est rectangle en B, donc l'angle \widehat{\mathrm{CBD}} est un angle droit.
On en déduit que l'angle \widehat{\mathrm{BFE}} est aussi un angle droit, donc que Sophie a raison.
4.  Calculons la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{BCD}}, pour ensuite obtenir la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ACD}}.
Dans le triangle BDC rectangle en B, on a :
\cos( \widehat{\mathrm{BCD}} ) = \frac{\mathrm{CB} }{\mathrm{CD} }.
On a CB = 7,5 cm et CD = 8,5 cm, donc :
\cos( \widehat{\mathrm{BCD}} ) = \frac{7,5}{8,5} puis, à la calculatrice,
\widehat{\mathrm{BCD}} = \cos^{-1} (\frac{7,5}{8,5}) \approx 28,1^{\circ} au dixième de degré près.
Finalement, \widehat{\mathrm{ACD}} = \widehat{\mathrm{ACB}} + \widehat{\mathrm{BCD}} \approx 61^{\circ} + 28,1^{\circ} \approx 89,1^{\circ} au dixième de degré près.
L'angle \widehat{\mathrm{ACD}} n'est donc pas un angle droit et Max a tort.