Sujet national, juin 2017, exercice 4

Énoncé

8 points
Les panneaux photovoltaïques permettent de produire de l'électricité à partir du rayonnement solaire.
Une unité courante pour mesurer l'énergie électrique est le kilowatt-heure, abrégé en kWh.
1. 
Le plus souvent, l'électricité produite n'est pas utilisée directement, mais vendue pour être distribuée dans le réseau électrique collectif. Le prix d'achat du kWh, donné en centimes d'euros, dépend du type d'installation et de sa puissance totale, ainsi que de la date d'installation des panneaux photovoltaïques. Ce prix d'achat du kWh est donné dans le tableau ci-dessous.
Tarifs d'un kWh en centimes d'euros
Tarifs d'un kWh en centimes d'euros

Date d'installation
Type d'installation
Puissance totale
Du 01/01/15 au 31/03/15
du 01/04/15 au 30/06/15
du 01/07/15 au 30/09/15
du 01/10/15 au 31/12/15
Type A
0 à 9 kW
26,57
26,17
25,78
25,39
Type B
0 à 36 kW
13,46
13,95
14,7
14,4
36 à 100 kW
12,79
13,25
13,96
13,68

Source : http://www.developpement-durable.gouv.fr
En mai 2015, on installe une centrale solaire du type B, d'une puissance de 28 kW.
Vérifier que le prix d'achat de 31 420 kWh est d'environ 4 383 €.
Commencez par déterminer le prix d'achat d'un kWh à l'aide du tableau.
2. 
Une personne souhaite installer des panneaux photovoltaïques sur la partie du toit de sa maison orientée au sud. Cette partie est grisée sur la figure ci-après. Elle est appelée pan sud du toit. La production d'électricité des panneaux solaires dépend de l'inclinaison du toit.
Déterminer, au degré près, l'angle \widehat{\mathrm{ABC}} que forme ce pan sud du toit avec l'horizontale.
Pensez à utiliser une relation trigonométrique.
Sujet national, juin 2017, exercice 4 - illustration 1
3. 
a) 
Montrer que la longueur AB est environ égale à 5 m.
Pensez à utiliser le théorème de Pythagore.
b) 
Les panneaux photovoltaïques ont la forme d'un carré de 1 m de côté.
Le propriétaire prévoit d'installer 20 panneaux.
Quel pourcentage de la surface totale du pan sud du toit sera alors couvert par les panneaux solaires ? On donnera une valeur approchée du résultat à 1 % près.
Calculez l'aire totale de la surface du pan du toit, puis le pourcentage que représente l'aire de la surface des 20 panneaux photovoltaïques par rapport à cette aire.
Sujet national, juin 2017, exercice 4 - illustration 2
c) 
La notice d'installation indique que les panneaux doivent être accolés les uns aux autres et qu'une bordure d'au moins 30 cm de large doit être laissée libre pour le système de fixation tout autour de l'ensemble des panneaux.
Le propriétaire peut-il installer les 20 panneaux prévus ?
Quelles dimensions reste-t-il en longueur et en largeur pour le pan sud du toit lorsque l'on enlève la bordure ?

Corrigé

1. La centrale solaire du type B d'une puissance de 28 kW a été installée en mai 2015.
D'après le tableau, le prix d'achat du kWh est de 13,95 c€ = 0,1395 €.
Le prix d'achat de 31 420 kWh est donc de 0,1395 × 31 420 = 4 383,09 €, soit environ 4 383 €.
2. 
Dans le triangle ABC rectangle en C, on a : \tan( \widehat{\mathrm{ABC}} ) = \frac{\mathrm{AC} }{\mathrm{CB} }.
Or, on a AC = 7 − 4,8 = 2,2 m et CB = 4,5 m, donc :
\tan( \widehat{\mathrm{ABC}} )= \frac{2,2}{4,5} puis, à la calculatrice,
\widehat{\mathrm{ABC}} = \tan^{-1} (\frac{2,2}{4,5}) \approx 26^{\circ} au degré près.
L'angle \widehat{\mathrm{ABC}} que forme ce pan sud du toit avec l'horizontale est d'environ 26^{\circ}.
3. 
a) 
Dans le triangle ABC rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore, on a : AB2 = CA2 + CB2.
On a donc : AB2 = 2,22 + 4,52 = 4,84 + 20,25 = 25,09 car AC = 2,2 m et CB = 4,5 m.
À la calculatrice, AB = \sqrt{25,09} \approx 5 m, au dixième près.
b) 
L'aire de la surface totale du pan sud du toit est égale à :
7,5 × AB \approx 7,5 × 5 \approx  37,5 m2.
Les panneaux photovoltaïques ont la forme d'un carré de 1 m de côté, donc l'aire de la surface qu'ils occupent est de 20 m2.
Le pourcentage de la surface totale du pan sud du toit qui est couvert par les panneaux solaires est donc de :
\frac{20}{37,5} \times 100 \approx 53 %, à 1 % près.
c) 
Lorsque l'on enlève la bordure, la largeur restante du pan sud du toit est de 5 − 2 × 0,3 = 4,4 m et sa longueur de 7,5 − 2 × 0,3 = 6,9 m.
Le propriétaire peut donc placer 4 panneaux photovoltaïques en largeur et 6 en longueur.
Il pourra donc installer les 20 panneaux photovoltaïques prévus.