Sujet de métropole, juin 2018, exercice 4

1. Dans le triangle BDC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, on a : CD² = BC² + BD².
On a donc : BD² = CD² − BC² = 8,5² − 7,5² = 72,25 − 56,25 = 16 car CD = 8,5 cm et BC = 7,5 cm.
On en déduit BD = $\sqrt{16}$ = 4 cm.
La longueur BD est égale à 4 cm.

2. Deux triangles sont semblables si les longueurs des côtés de l'un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l'autre.
Montrons donc que les longueurs des côtés du triangle BFE sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle CBD.
On remarque que :

$\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{BD}} = \frac{3,2}{4}$ = 0,8 ;
$\frac{\mathrm{FB}}{\mathrm{BC}} = \frac{6}{7,5}$ = 0,8 ;
$\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CD}} = \frac{6,8}{8,5}$ = 0,8.

Les longueurs des côtés du triangle BFE sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle CBD, donc les triangles CBD et BFE sont semblables.

3. Les triangles CBD et BFE sont semblables et les angles de triangles semblables sont 2 à 2 égaux.
Le triangle BDC est rectangle en B, donc l'angle $\widehat{\mathrm{CBD}}$ est un angle droit.
On en déduit que l'angle $\widehat{\mathrm{BFE}}$ est aussi un angle droit, donc que Sophie a raison.

4. Calculons la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{BCD}}$ , pour ensuite obtenir la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{ACD}}.$
Dans le triangle BDC rectangle en B, on a :
$\cos( \widehat{\mathrm{BCD}} ) = \frac{\mathrm{CB} }{\mathrm{CD} }.$
On a CB = 7,5 cm et CD = 8,5 cm, donc :
$\cos( \widehat{\mathrm{BCD}} ) = \frac{7,5}{8,5}$ puis, à la calculatrice,
$\widehat{\mathrm{BCD}} = \cos^{-1} (\frac{7,5}{8,5}) \approx 28,1^{\circ}$ au dixième de degré près.
Finalement, $\widehat{\mathrm{ACD}}$ = $\widehat{\mathrm{ACB}} + \widehat{\mathrm{BCD}} \approx$ $61^{\circ} + 28,1^{\circ} \approx$ $89,1^{\circ}$ au dixième de degré près.
L'angle $\widehat{\mathrm{ACD}}$ n'est donc pas un angle droit et Max a tort.

Énoncé

Annexes

Corrigé