Sujet national, juin 2018, exercice 3

Énoncé

12 points
Dans son lecteur audio, Théo a téléchargé 375 morceaux de musique. Parmi eux, il y a 125 morceaux de rap. Il appuie sur la touche « lecture aléatoire » qui lui permet d'écouter un morceau choisi au hasard parmi tous les morceaux disponibles.
1. 
Quelle est la probabilité qu'il écoute du rap ?
Donnez la probabilité sous la forme d'une fraction irréductible.
2. 
La probabilité qu'il écoute du rock est égale à \frac{7}{15}.
Combien Théo a-t-il de morceaux de rock dans son lecteur audio ?
Notez x le nombre de morceaux de rock du lecteur audio de Théo et résolvez une équation simple.
3. 
Si Théo et Alice appuient tous les deux sur la touche « lecture aléatoire » de leur lecteur audio, lequel a le plus de chances d'écouter un morceau de rock ?
Il s'agit de comparer 40 % avec la fraction \frac{7}{15}.

Corrigé

1. 
Parmi les 375 morceaux de musique que Théo a téléchargés, il y a 125 morceaux de rap.
En appuyant sur la touche « lecture aléatoire » qui lui permet d'écouter un morceau choisi au hasard parmi tous les morceaux disponibles, la probabilité qu'il écoute du rap est donc de \frac{125}{375}\frac{125}{3\times 125}\frac{1}{3}.
2. 
Notons x le nombre de morceaux de rock du lecteur audio de Théo.
Parmi les 375 morceaux de musique que Théo a téléchargés, il y a x morceaux de rock.
La probabilité que Théo écoute du rock est égale à \frac{7}{15}, donc :
\frac{x}{375} = \frac{7}{15}
15  ×  x = 7 × 375 = 2 625 en utilisant l'égalité des produits en croix
x\frac{2~625}{15}
x = 175.
Théo a donc 175 morceaux de rock dans son lecteur audio.
3. 
En appuyant sur la touche « lecture aléatoire », la probabilité que Théo écoute du rock est de \frac{7}{15} \approx 0,47 au centième près.
La probabilité qu'Alice écoute du rock est de 40 % = \frac{40}{100} = 0,40.
En appuyant sur la touche « lecture aléatoire », entre Alice et Théo, c'est donc Théo qui a le plus de chance d'écouter un morceau de rock.