Sujet national, juin 2017, exercice 5

Énoncé

8 points
1. 
Lors des jeux Olympiques de Rio en 2016, la danoise Pernille Blume a remporté le 50 m nage libre en 24,07 secondes.
A-t-elle nagé plus rapidement qu'une personne qui se déplace en marchant vite, c'est-à-dire à 6 km/h ?
Calculez la vitesse à laquelle a nagé Pernille Blume en m/s, puis convertissez cette vitesse en km/h.
2. 
On donne l'expression E = (3x + 8)^2 - 64.
a) 
Développer E.
Rappelez-vous que pour tous les nombres a et b, (ab)2a2 + 2ab + b2 (identité remarquable).
b) 
Montrer que E peut s'écrire sous forme factorisée : 3x (3x + 16).
Mettez 3x en facteur dans l'expression trouvée à la question 2. a).
c) 
Résoudre l'équation (3x+8)^2 - 64 = 0.
Remarquez qu'il s'agit de résoudre une équation-produit.
3. 
La distance d de freinage d'un véhicule dépend de sa vitesse et de l'état de la route.
On peut la calculer à l'aide de la formule suivante :
d = k\times V^2 avec
d : distance de freinage en m
V : vitesse du véhicule en m/s
k : coefficient dépendant de l'état de la route (k = 0,14 sur route mouillée ; k = 0,08 sur route sèche)
Quelle est la vitesse d'un véhicule dont la distance de freinage sur route mouillée est égale à 15 m ?
Remplacez k et d par leur valeur numérique, puis calculez V à la calculatrice.

Corrigé

1. 
Pernille Blume a nagé à la vitesse de \frac{50}{24,07} \approx 2,077 m/s au millième près.
Convertissons cette vitesse en km/h :
2,077 m/s =  \frac{2,077~\mathrm{m}}{1~\mathrm{s}}
2,077 m/s = \frac{2,077\times 3~600~\mathrm{m}}{3~600~\mathrm{s}}
2,077 m/s =  \frac{7~477,2~\mathrm{m}}{1~\mathrm{h}} car 1 h =  60 min = 60 × 60 s = 3 600 s.
2,077 m/s = 7,4772 km/h.
Lors des jeux Olympiques de Rio en 2016, lorsque Pernille Blume a remporté le 50 m nage libre, elle a nagé plus rapidement qu'une personne qui se déplace à 6 km/h.
Remarque : en utilisant la proportionnalité, Pernille Blume a nagé 50 m en 24,07 s donc, si elle conservait la même vitesse, elle nagerait 6 000 m = 120 × 50 m en 120 × 24,07 =  2 888,4 s donc en moins de 3 600 s = 1 h.
Si elle effectue 6 km en moins d'une heure, sa vitesse est de plus de 6 km/h.
2. 
a) 
En utilisant l'identité remarquable (a + b)2a2 + 2abb2a et b sont deux nombres, on a :
E = (3x + 8)^2 - 64
E = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 8 + 8^2 - 64
E = 9x^2 + 48x + 64 - 64
E = 9x^2 + 48x.
b) 
En mettant 3x en facteur dans l'expression précédente, on a :
E = 3x × 3x + 3x × 16
E = 3x × (3x + 16).
E peut s'écrire sous forme factorisée : 3x (3x + 16).
c) 
D'après la question précédente, E = (3x + 8)^2 - 64 = 3x (3x + 16).
Résoudre l'équation (3x + 8)^2 - 64 = 0 revient donc à résoudre l'équation-produit :
3x (3x + 16) =  0.
3x (3x + 16) = 0 est équivalent à 3x = 0 ou 3x + 16 = 0, c'est-à-dire x = 0 ou 3x = −16, puis x = 0 ou x =  \frac{-16}{3}.
Les solutions de l'équation (3x + 8)^2 - 64 = 0 sont donc les valeurs x = 0 et x =  \frac{-16}{3}.
3. 
Sur route mouillée, le coefficient k est égal à 0,14.
On a d = k\times V^2 avec k = 0,14 et d = 15.
On a donc 15 = 0,14 × V2, puis V2 = \frac{15}{0,14} et V = \sqrt{\frac{15}{0,14}}.
À la calculatrice, V\sqrt{\frac{15}{0,14}} \approx 10,35 m/s.
10,35 m/s = \frac{10,35~\mathrm{m}}{1~\mathrm{s}}\frac{10,35\times 3~600~\mathrm{m}}{3~600~\mathrm{s}} = \frac{37~260~\mathrm{m}}{1~\mathrm{h}} = 37,260 km/h.
En utilisant cette formule, la vitesse d'un véhicule dont la distance de freinage sur route mouillée est égale à 15 m est d'environ 37,260 km/h.