Sujet national, juin 2016, exercice 6

Énoncé

7 points
Avec des ficelles de 20 cm, on construit des polygones comme ci-dessous :
Méthode de construction des polygones
Méthode de construction des polygones
Partie 1
Dans cette partie, on découpe à l'étape 1 une ficelle pour que le « morceau nº 1 » mesure 8 cm.
1. 
Dessiner en grandeur réelle les deux polygones obtenus.
Pour connaître le côté du carré construit avec le « morceau nº 1 », exprimez le côté d'un carré en fonction de son périmètre.
Pour connaître le côté du triangle équilatéral construit avec le « morceau nº 2 », exprimez le côté d'un triangle équilatéral en fonction de son périmètre.
2. 
Calculer l'aire du carré obtenu.
Rappelez-vous que l'aire d'un carré de côté c est c2.
3. 
Estimer l'aire du triangle équilatéral obtenu en mesurant sur le dessin.
Tracez la hauteur de ce triangle équilatéral pour pouvoir la mesurer.
Partie 2
Dans cette partie, on cherche maintenant à étudier l'aire des deux polygones obtenus à l'étape 3 en fonction de la longueur du « morceau nº 1 ».
1. 
Proposer une formule qui permet de calculer l'aire du carré en fonction de la longueur du « morceau nº 1 ».
Notez x la longueur (en cm) du « morceau nº 1 » et exprimez le côté d'un carré en fonction de son périmètre, puis son aire en fonction de son périmètre.
2. 
Sur le graphique ci-dessous :
  • la courbe A représente la fonction qui donne l'aire du carré en fonction de la longueur du « morceau nº 1 » ;
  • la courbe B représente la fonction qui donne l'aire du triangle équilatéral en fonction de la longueur du « morceau nº 1 ».
Sujet national, juin 2016, exercice 6 - illustration 2
En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Aucune justification n'est attendue.
a) 
Quelle est la longueur du « morceau nº 1 » qui permet d'obtenir un triangle équilatéral d'aire 14 cm2 ?
Vous devez trouver cette valeur à l'aide de la courbe B.
b) 
Quelle est la longueur du « morceau nº 1 » qui permet d'obtenir deux polygones d'aires égales ?
Il s'agit de déterminer l'abscisse du point d'intersection des courbes A et B.

Corrigé

Partie 1
1. Le « morceau nº 1 » mesure 8 cm et le côté d'un carré mesure le quart de son périmètre, donc le carré obtenu avec le « morceau nº 1 » est un carré de côté 2 cm.
Le « morceau nº 2 » mesure 20 − 8 = 12 cm et le côté d'un triangle équilatéral mesure le tiers de son périmètre, donc le triangle équilatéral obtenu avec le « morceau nº 2 » est un triangle équilatéral de côté 12 ÷ 3 = 4 cm.
Sujet national, juin 2016, exercice 6 - illustration 3
2. D'après la question précédente, le carré construit avec le « morceau nº 1 » est un carré de côté 2 cm.
L'aire de ce carré est donc 2 × 2 = 4 cm2.
3. 
La hauteur de ce triangle équilatéral mesure 3,5 cm au dixième près, donc son aire est d'environ \frac{3,5\times4}{2} = 3,5 × 2 = 7 cm2.
Sujet national, juin 2016, exercice 6 - illustration 4
Partie 2
1. Notons x la longueur (en cm) du « morceau nº 1 ». On a 0 < x < 20.
Cette longueur correspond au périmètre du carré construit avec le « morceau nº 1 », donc le côté de ce carré est \frac{x}{4}.
L'expression du côté du carré en fonction de x étant \frac{x}{4}, l'aire de ce carré a pour expression {(\frac{x}{4})}^2\frac{x^2}{16}.
2. 
a) La longueur du « morceau nº 1 » qui permet d'obtenir un triangle équilatéral d'aire 14 cm2 est l'antécédent de 14 par la fonction représentée graphiquement par la courbe B.
Graphiquement, cette longueur est d'environ 3 cm. (Voir le graphique ci-dessous.)
b) La longueur du « morceau nº 1 » qui permet d'obtenir deux polygones d'aires égales est l'abscisse du point d'intersection des courbes A et B.
Graphiquement, cette longueur est d'environ 9,3 cm. (Voir le graphique ci-dessous.)
Sujet national, juin 2016, exercice 6 - illustration 5