Sujet national, juin 2016, exercice 1

Énoncé

4 points
Une société commercialise des composants électroniques qu'elle fabrique dans deux usines. Lors d'un contrôle de qualité, 500 composants sont prélevés dans chaque usine et sont examinés pour déterminer s'ils sont « bons » ou « défectueux ».
Résultats obtenus pour l'ensemble des 1 000 composants prélevés :

Usine A
Usine B
Bons
473
462
Défectueux
27
38

1. 
Si on prélève un composant au hasard parmi ceux provenant de l'usine A, quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ?
Vous devez trouver une probabilité proche de 0,05.
2. 
Si on prélève un composant au hasard parmi ceux qui sont défectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne de l'usine A ?
Commencez par calculer le nombre total de composants défectueux parmi ceux prélevés dans les deux usines.
3. 
Le contrôle est jugé satisfaisant si le pourcentage de composants défectueux est inférieur à 7 % dans chaque usine. Ce contrôle est-il satisfaisant ?
Pour chaque usine, calculez la probabilité qu'un composant prélevé au hasard parmi ceux provenant de cette usine soit défectueux en l'exprimant sous la forme d'un pourcentage.

Corrigé

1. Sur les 500 composants prélevés dans l'usine A, 27 sont défectueux.
La probabilité qu'un composant prélevé au hasard parmi ceux provenant de l'usine A soit défectueux est donc \frac{27}{500} = 0,054.
2. Le nombre total de composants défectueux parmi ceux prélevés dans les deux usines est 27 + 38 = 65.
Sur les 65 composants défectueux provenant des deux usines, 27 proviennent de l'usine A.
La probabilité qu'un composant prélevé au hasard parmi ceux qui sont défectueux provienne de l'usine A est donc \frac{27}{65} \approx 0,415 au millième près.
3. Dans l'usine A, 27 composants sur les 500 prélevés au hasard sont défectueux.
Dans cette usine, le pourcentage de composants défectueux est donc \frac{27}{500} \times 100 = \frac{27}{5} = 5,4 %.
Dans l'usine B, 38 composants sur les 462 prélevés au hasard sont défectueux.
Dans cette usine, le pourcentage de composants défectueux est donc \frac{38}{500} \times 100 = \frac{38}{5} = 7,6 %.
Dans l'usine A, le pourcentage de composants défectueux est de 5,4 % et, dans l'usine B, il est de 7,6 %. Le contrôle n'est donc pas satisfaisant.