Nombre dérivé et fonction dérivée

Le concept de dérivée n'a été dégagé qu'il y a environ trois siècles. Il est lié, en mathématiques, à la notion de tangente à une courbe, et en sciences physiques, à celle de vitesse instantanée d'un mobile. Les calculs de dérivées ont de nombreuses applications : ils permettent de déterminer les variations d'une fonction, de résoudre des problèmes d'optimisation, de calculer certaines limites, etc.

1. Comment définir le nombre dérivé d'une fonction en un réel ?

Soit f une fonction définie sur un intervalle I ouvert et a un réel appartenant à I.
On dit que f est dérivable en a si le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie quand x tend vers a. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre dérivé de f en a et est noté $f'\left( a \right)$ :
$f'\left( a \right) =$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to a}$ $\frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}} =$ $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0}$ $\frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$ .
Exercice n°1

2. Que représente le nombre dérivé d'une fonction en un réel ?

Lorsqu'une fonction f est dérivable en un réel a d'un intervalle ouvert I, le nombre dérivé de f en a, $f'\left( a \right)$ , est le coefficient directeur de la tangente à C, la courbe représentative de f, au point d'abscisse a de C.

Exercice n°2 Exercice n°3

3. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction, en un point ?

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, dérivable en un réel a de I. On note T la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
Par définition, T est une droite de coefficient directeur $f'\left( a \right)$ . De plus, T passe par le point ${\rm{A}}\left( {a \, ; \: f\left( a \right)} \right)$ .
En traduisant ces deux conditions, on obtient l'équation de T : $y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)$ .
Exercice n°4

4. Existe-t-il des fonctions non dérivables en a ?

Exemple 1 :
Étudions la dérivabilité de la fonction racine carrée en 0.
On considère la fonction f définie sur Ensemble R

⁺ par $\mathrm{f}(\mathrm{x})= \sqrt{\mathit{x}}$ .
Pour cela, on étudie la limite du taux d'accroissement de f entre 0 et 0 + h :
$\lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{f(\mathit{x}_{0}+\mathrm{h})-f(\mathit{x}_{0})}{\mathrm{h}}= \lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{\sqrt{0+\mathrm{h}}-\sqrt{0}}{\mathrm{h}}$
$= \lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{\sqrt{\mathrm{h}}}{\mathrm{h}}$
$= \lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{h}}}$
$= +\infty$
La limite n'est pas un nombre réel fini. La fonction racine carrée n'est donc pas dérivable en 0. Cependant, la courbe admet, au point d'abscisse 0, une demi-tangente verticale.
Exemple 2 :
Étudions la dérivabilité de la fonction valeur absolue en 0.
On considère la fonction f définie sur Ensemble R

par f(x) = | x |.
$\lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{\left | 0+\mathrm{h} \right | -\left | 0 \right | }{\left | \mathrm{h} \right | }= \lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{\left | \mathrm{h} \right | }{\mathrm{h}}$
Or, la quantité $\frac{\left | \mathrm{h} \right | }{\mathrm{h}}$ n'a pas de limite en 0. En effet :
$\lim_{\begin{matrix}\mathrm{h} \to 0\\\mathrm{h} > 0\end{matrix}}\frac{\left | h \right | }{h}= \lim_{\begin{matrix}\mathrm{h} \to 0\\\mathrm{h} > 0\end{matrix}}\frac{\left | h \right | }{h}= 1$ et $\lim_{\begin{matrix}\mathrm{h} \to 0\\\mathrm{h} < 0\end{matrix}}\frac{\left | h \right | }{h}= \lim_{\begin{matrix}\mathrm{h} \to 0\\\mathrm{h} < 0\end{matrix}}\frac{\left | h \right | }{h}= -1$
(Les limites à gauche et à droite sont différentes…)
Le taux d'accroissement de la fonction f entre 0 et 0 + h n'a pas de limite en 0. Par conséquent la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
Cependant, elle est dérivable "à droite" de 0 et "à gauche" de 0.
La courbe admet donc deux demi-tangentes distinctes de coefficients directeurs respectifs 1 et −1
Exercice n°5

5. Qu'est-ce que la fonction dérivée d'une fonction dérivable sur un intervalle ?

• Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I.
On dit que f est dérivable sur I lorsque f est dérivable en tout réel x de I.

• Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
La fonction qui, à tout réel x de I, associe le nombre dérivé $f'\left( x \right)$ est appelée la fonction dérivée de f sur I. Elle est notée f'.
Exercice n°6 Exercice n°7

À retenir

• Une fonction f, définie sur un intervalle ouvert contenant un réel a, est dérivable en a si $\frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}}$ admet une limite finie lorsque x tend vers a. Ce réel est alors noté $f'\left( a \right)$ et appelé le « nombre dérivé de f en a ».

• Dans ce cas, $f'\left( a \right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. Cette tangente a alors pour équation $y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)$ .

• Si une fonction f est définie et dérivable en tout réel x d'un intervalle ouvert I, alors la fonction qui, à tout $x \in I$ , associe $f'\left( x \right)$ est la fonction dérivée de f sur I, elle est notée f'.

Exercice n°1

Cochez la bonne réponse.

Quel est le nombre dérivé en 4 de la fonction f définie sur Ensemble R

par : $f\left( x \right) = x^2 + 2x - 1$ ?

Cochez la bonne réponse.

Il n'existe pas.

Pour $h \ne 0$ , on a :
$\frac{{f\left( {4 + h} \right) - f\left( 4 \right)}}{h} = \frac{{\left( {4 + h} \right)^2 + 2\left( {4 + h} \right) - 1 - 23}}{h}$
$\frac{{f\left( {4 + h} \right) - f\left( 4 \right)}}{h} = \frac{{h^2 + 10h}}{h}$
$\frac{{f\left( {4 + h} \right) - f\left( 4 \right)}}{h} = h + 10$
Or $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} h + 10 = 10$ , donc le nombre dérivé de f en 4 existe et vaut $f'\left( 4 \right) = 10$ .

Exercice n°2

Cochez la bonne réponse.

On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left] { - 3 \, ; \: 5} \right[$ :

Le nombre dérivé de f en 2 est :

Cochez la bonne réponse.

strictement positif

ok	strictement négatif

nul

Le nombre f'(2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 2 de cette courbe.
Sur le dessin, la fonction f est clairement strictement décroissante au point d'abscisse 2, donc f'(2) est strictement négatif.

Exercice n°3

Cochez la bonne réponse.

Soit g la fonction définie sur Ensemble R

par $g\left( x \right) = x^3$ . En quels points la courbe de g admet-elle une tangente parallèle à la droite D d'équation : y = 3x + 5

Cochez la bonne réponse.

${\rm{O}}\left( {0 \, ; \: 0} \right)$

${\rm{C}}\left( {2 \, ; \: 8} \right)$ et ${\rm{D}}\left( { - 2 \, ; \: - 8} \right)$

ok	${\rm{A}}\left( {1 \, ; \: 1} \right)$ et ${\rm{B}}\left( { - 1 \, ; \: - 1} \right)$

• Soit a un réel quelconque.
Pour $h \ne 0$ , on a :
$\frac{{g\left( {a + h} \right) - g\left( a \right)}}{h} = \frac{{\left( {a + h} \right)^3 - a^3 }}{h} = \frac{{a^3 + 3a^2 h + 3ah^2 + h^3 - a^3 }}{h}$ , soit
$\frac{{g\left( {a + h} \right) - g\left( a \right)}}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2$ .
Or $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 3a^2 + 3ah + h^2 = 3a^2$ , qui est un réel fini.
Donc g est dérivable en tout réel a, d'où g est dérivable sur Ensemble R

et, pour tout $a \in$ Ensemble R

, $g'\left( a \right) = 3a^2$ .

• On cherche pour quels réels a le coefficient directeur de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse a est égal à celui de la droite d'équation y = 3x + 5

, c'est-à-dire égal à 3.
On résout donc $g'\left( a \right) = 3$ , soit 3a^2 = 3

, ou encore a^2 = 1

. Les solutions sont : a = 1

.
Ainsi, les points cherchés sont : ${\rm{A}}\left( {1 \, ; \: g\left( 1 \right) = 1} \right)$ et ${\rm{B}}\left( { - 1 \, ; \: g\left( { - 1} \right) = - 1} \right)$ .

Exercice n°4

Cochez la bonne réponse.

Soit g la fonction définie sur Ensemble R

par $g\left( x \right) = 2x^2 + 3x - 1$ .
Une équation de la tangente T à la courbe de g au point d'abscisse

est :

Cochez la bonne réponse.

Pour $h \ne 0$ , on a :
$\frac{{g\left( { - 1 + h} \right) - g\left( { - 1} \right)}}{h} = \frac{{2\left( { - l + h} \right)^2 + 3\left( { - 1 + h} \right) - 1 - \left( { - 2} \right)}}{h}$
$\frac{{g\left( { - 1 + h} \right) - g\left( { - 1} \right)}}{h} = \frac{{2h^2 - h}}{h}$
$\frac{{g\left( { - 1 + h} \right) - g\left( { - 1} \right)}}{h} = 2h - 1$
Or $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2h - 1 = - 1$ donc g est dérivable en

et $g'\left( { - 1} \right) = - 1$ .
Donc T a pour équation : $y = g'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + g\left( { - 1} \right)$ ,
soit $y = - \left( {x + 1} \right) - 2$ , ou encore y = - x - 3

Exercice n°5

Soit g la fonction définie pour tout x de [0; $+\infty$ [ par $\mathit{g}(\mathit{x})= \mathit{x}\sqrt{\mathit{x}}$ .

Le taux d'accroissement de g entre 0 et 0+h est égal à :

Cochez la bonne réponse.

ok	$\sqrt{\mathrm{h}}$ et donc g est dérivable en 0.

$\sqrt{\mathrm{h}}$ et donc g n'est pas dérivable en 0.

0 et donc g n'est pas dérivable en 0.

0 et donc g est dérivable en 0.

Exercice n°6

Cochez la bonne réponse.

Soit la fonction g définie sur Ensemble R

par ${\rm{g}}\left( x \right) = x^2$ .

Cochez la bonne réponse.

ok	g est dérivable sur

g est dérivable uniquement en 0

g est dérivable uniquement sur $\left[ {0; + \infty } \right[$

• Soit a un réel quelconque de Ensemble R

.
Pour $h \ne 0$ ,
$\frac{{g\left( {a + h} \right) - g\left( a \right)}}{h} = \frac{{\left( {a + h} \right)^2 - a^2 }}{h} = \frac{{2ah + h^2 }}{h} = 2a + h$ .
Or $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2a + h = 2a$ qui est un réel fini.
Donc f est dérivable en tout réel a de Ensemble R

.
D'où f est dérivable sur Ensemble R

Exercice n°7

Cochez la bonne réponse.

Soit la fonction $f:x \mapsto \frac{1}{x}$ ; elle est dérivable sur Ensemble R

$- \left\{ 0 \right\}$ . Quelle est sa fonction dérivée ?

Cochez la bonne réponse.

$f':x \mapsto \frac{1}{{x^2 }}$

$f':x \mapsto 1$

ok	$f':x \mapsto - \frac{1}{{x^2 }}$

Soit a un réel quelconque de Ensemble R

$- \left\{ 0 \right\}$ .
Pour $h \ne 0$ ,
$\frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} = \frac{{\frac{1}{{a + h}} - \frac{1}{a}}}{h} = \frac{{a - a - h}}{{ah\left( {a + h} \right)}} = - \frac{1}{{a\left( {a + h} \right)}}$
Or $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 1}}{{a\left( {a + h} \right)}} = - \frac{1}{{a^2 }}$ qui est un réel fini.
Donc f est bien dérivable sur Ensemble R

$- \left\{ 0 \right\}$ et, pour tout $x \ne 0$ , $f'\left( x \right) = - \frac{1}{{x^2 }}$ .