Probabilités conditionnelles

L'essentiel du cours

On considère une expérience aléatoire dans un univers fini Ω.
On note A et B des événements de l'univers Ω.
On note P(A) la probabilité que l'événement A soit réalisé.

Définition 1

On appelle probabilité conditionnelle la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement est réalisé (ou sachant que l'autre événement n'est pas réalisé).
Si P(A) ≠ 0, on note P_A(B) la probabilité que l'événement B soit réalisé sachant que l'événement A est réalisé, on dit que c'est la « probabilité de B sachant A ».
On note également $P_{\bar{A}}\left ( B \right )$ la probabilité que l'événement B soit réalisé sachant que l'événement A n'est pas réalisé.

Propriété 1 – Conséquence

Une probabilité conditionnelle est une probabilité donc elle vérifie :

0 ≤ P_A (B) ≤ 1 ;
$P_{A}\left ( B \right )\, +\, P_{A}\left ( \bar{B} \right )\, =\,1$ , ce qui équivaut à $P_{A}\left ( \bar{B} \right )\, =\,1\, -\, P_{A}\left ( B \right )$ .

Propriété 2 – Arbre pondéré

Un arbre pondéré possède les propriétés suivantes :

La somme des probabilités des banches issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
La probabilité de l'événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur toutes les branches de ce chemin.
La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des différents chemins conduisant à cet événement.

Propriété 3

Si P(A) ≠ 0, on a : $P_{A}\left ( B\right )\, =\,\frac{P\left ( A\, \cap\, B \right )}{P\left ( A \right )}$ .

Propriété 4 – Conséquence

Soit A et B deux événements tels que P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0.
Dans ce cas, P(A) × P_A(B)= P(B) × P_B(A) car elles sont toutes les deux égales à $P\left ( A\, \cap \, B \right )$ .

Exemple

On choisit un élève au hasard dans une classe où 55 % des élèves participent à l'AS et 47 % des élèves sont des demi-pensionnaires qui participent à l'AS.
On note A l'événement « l'élève choisi va à l'AS » et D l'événement « l'élève choisi est demi-pensionnaire ».
Pour trouver la probabilité que l'élève choisi soit demi-pensionnaire sachant qu'il participe à l'AS, on va utiliser la propriété 3 : $P_{A}\left ( D \right )\, =\, \frac{P\left ( A\, \cap \, D \right )}{P\left ( A \right )}$ .
La probabilité P(A) correspond à la probabilité que l'élève aille à l'AS dans cette classe soit 55 %.
La probabilité $P\left ( A\, \cap \, D \right )$ correspond à la probabilité que l'élève aille à l'AS et qu'il soit également demi-pensionnaire dans cette classe soit 47 %.
Ainsi, on obtient : $P_{A}\left ( D \right )\, =\, \frac{P\left ( A\, \cap \, D \right )}{P\left ( A \right )}\, =\,\frac{0,47}{0,55}\, \simeq \, 0,8545$ ce qui correspond à une probabilité d'environ 85 % que l'élève choisi soit demi-pensionnaire si on sait qu'il participe à l'AS.

Représentations des probabilités

Représentation 1 : Dans un tableau de probabilité

	B	$\bar{B}$	Total
A	$P\left ( A\, \cap \, B \right )$	$P\left ( A\, \cap \, \bar{B} \right )$	P(A)
$\bar{A}$	$P\left ( \bar{A}\, \cap \, B \right )$	$P\left ( \bar{A}\, \cap \, \bar{B} \right )$	$P\left ( \bar{A} \right )$
Total	P(B)	$P\left ( \bar{B} \right )$	1

Exemple

Dans un groupe de jeunes, 40 % sont des filles et 60 % font du ski. Parmi les filles, il y a 30 % de skieuses.
On note F l'événement « le jeune est une fille » et S l'événement « le jeune fait du ski ».
La probabilité $P\left ( F\, \cap \, S \right )$ s'obtient en calculant : $P\left ( F\, \cap \, S \right )\, =\, P\left ( F \right )\, \times \, P_{F}\left ( S \right )\, =\, 0,40\, \times \, 0,30\, =\, 0,12$ .
On peut alors compléter le tableau regroupant les probabilités de la situation (les nombres en gras sont connus dans l'énoncé ou viennent d'être calculés :

	Fille	Garçon	Total
Fait du ski	$\boldsymbol{P}\left ( \boldsymbol{S}\, \cap \, \boldsymbol{F} \right )\, =\, \mathbf{012}$	$P\left ( S\, \cap \bar{F} \right )\, =\, 0,48$	P(S) = 0,60
Ne fait pas de ski	$P\left ( \bar{S}\, \cap \, F \right )\, =\, 0,28$	$P\left ( \bar{S}\, \cap \, \bar{F} \right )\, =\, 0,12$	$\boldsymbol{P}\left ( \boldsymbol{\bar{S}} \right )\, =\,\mathbf{0,40}$
Total	P(F) = 0,40	$\boldsymbol{P}\left ( \boldsymbol{\bar{F}} \right )\, =\,\mathbf{0,60}$	1

Si on rencontre une de ces personnes au hasard et qu'on sait qu'elle fait du ski, alors la probabilité que ce soit une fille est : $P_{S}\left ( F \right )\, =\, \frac{P\left ( S\, \cap \, F \right )}{P\left ( S \right )}\, =\, \frac{0,12}{0,60}\, =\, 0,20$ .

Représentation 2 : Avec un arbre pondéré

Exemple

Max s'est créé une adresse électronique. Au bout de quelques semaines, il constate que 90 % des messages reçus dans sa boîte mail sont des spams, c'est-à-dire des messages indésirables. Il achète donc un logiciel qui classe les messages en deux catégories : normaux et indésirables.
Après l'utilisation, il constate que 1 % des messages normaux (non spams) reçus sont classés en indésirables. Il constate également que 11,7 % des messages sont classés normaux.
On note S l'événement « le message reçu est un spam » et N l'événement « le message est classé normal ».
La probabilité qu'un message soit classé normal alors que c'est un spam correspond, d'après l'arbre ci-dessus, à P_S (N). On sait que $P_{S}\left ( N \right )\, =\, \frac{P\left ( S\, \cap \, N \right )}{P\left ( S \right )}$ . Or : $P\left ( S\, \cap \, N \right )\, =\, P\left ( N \right )\, -\, P\left ( \bar{S}\, \cap \, N \right )\, =\, 0,117\, -\, 0,10\, \times \, 0,99\, =\, 0,018$ d'après les propriétés des chemins des arbres pondérés.
Ainsi, $P_{S}\left ( N \right )\, =\, \frac{P\left ( S\, \cap \, N \right )}{P\left ( S \right )}\,=\, \frac{0,018}{0,90}\, =\, 0,02$ . Il y a donc 2 % des messages qui sont classés normaux par le logiciel de Max alors que ce sont des spams.