Probabilités et indépendances

L'essentiel du cours

On considère une expérience aléatoire dans un univers fini Ω.
On note A et B des événements de l'univers Ω.
On note P(A) la probabilité que l'événement A soit réalisé.

Propriété 1 – Cas particulier de la formule des probabilités totales

Pour tous événements A et B tels que P(A) ≠ 0, on a :
$P\left ( B \right )\, =\, P\left ( B\, \cap \, A \right )\, +\, P\left ( B\, \cap \, \bar{A} \right )$ et donc $P\left ( B \right )\, =\, P\left ( A \right )\, \times \, P_{A}\left ( B \right )\, +\, P\left ( \bar{A} \right )\, \times \, P_{\bar{A}}\left ( B \right )$ .

Définition 1

On dit que deux événements A et B sont disjoints ou incompatibles lorsque $P\left ( A\, \cap \, B \right )\, =\, 0$ .
Cela signifie qu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps (ou qu'ils n'ont pas d'issues en commun).

Définition 2

Soit n un nombre entier positif.
On dit que les événements A₁, A₂, …, A_n forment une partition de l'univers Ω lorsque :

P(A_i) ≠ 0 pour tout $i\, \in \, \left\{ 1\, ;\, 2\, ;\, ...\, ;\, n\right\}$ ;
Ils sont deux à deux disjoints, c'est-à-dire que si i ≠ j (pour $i\, \in \, \left\{ 1\, ;\, 2\, ;\, ...\, ;\, n\right\}$ et $j\, \in \, \left\{ 1\, ;\, 2\, ;\, ...\, ;\, n\right\}$ ) alors $A_{i}\, \cap \, A_{j}\, =\,$ Ø ;
On a : $A_{1}\, \cup \, A_{2}\, \cup \, ...\, \cup \, A_{n}\, =\, \Omega$ .

Autrement dit : une partition d'un univers Ω est un ensemble d'événements deux à deux incompatibles, de probabilités non nulles et dont la réunion est Ω.

Propriété 2 – Formule des probabilités totales

Soit n un entier naturel et soient A₁, A₂, …, A_n n événements qui forment une partition de l'univers Ω.
Pour tout événement B, on a l'égalité : $P\left ( B \right )\, =\, P\left ( B\, \cap \, A_{1} \right )\, +\, P\left ( B\, \cap \, A_{2} \right )\, +\, \cdots \, P\left ( B\, \cap \, A_{n} \right )$ .

Définition 3

On dit qu'un événement B est indépendant d'un événement A lorsque P_A(B) = P(B).
Remarques :

A et B sont indépendants $\Leftrightarrow \, P_{A}\left ( B \right )\, =\, P\left ( B \right )\, \Leftrightarrow \, P_{B}\left ( A \right )\, =\, P\left ( A \right )$ .
Concrètement, dire que A et B sont indépendants signifie que la réalisation de A n'a pas d'influence sur la réalisation de B.

Propriété 3

Les événements A et B sont indépendants si et seulement si $P\left ( A\, \cap \, B \right )\, =\, P\left ( A \right )\, \times \, P\left ( B \right )$ .

Propriété 4

Si A et B sont indépendants, alors $\bar{A}$ (l'événement contraire de A) et B sont aussi indépendants. De même, dans ce cas, A et $\bar{B}$ sont indépendants, tout comme $\bar{A}$ et $\bar{B}$ .

Définition 4

Lorsque deux expériences aléatoires se succèdent et que les résultats de la première expérience n'ont aucune influence sur les résultats de la seconde, on dit qu'il s'agit de la succession de deux épreuves indépendantes.
Remarque : Dans ce cas, dans l'arbre de probabilités, les « sous-arbres » qui correspondent à la deuxième épreuve sont tous identiques (à toutes les branches de la première épreuve).

Méthodes de résolution

Méthode 1

Pour déterminer si deux événements sont indépendants, il faut :

faire le point sur les valeurs numériques données dans l'énoncé de l'exercice ;
faire un choix entre la comparaison de P(A) et P_B(A) ou celle de P(B) et P_A(B) ou encore celle de $P\left ( A\, \cap \, B \right )$ et de P(A) × P(B).

Exemple

Dans un collège de 300 élèves, 120 étudient l'espagnol, 100 étudient l'italien et les autres étudient l'allemand en seconde langue vivante étrangère. Parmi ces élèves, 120 ont voyagé à l'étranger au cours de leurs vacances, dont 40 qui étudient l'italien et 30 qui étudient l'espagnol.
On cherche à déterminer si les événements V « l'élève est allé à l'étranger pendant les vacances » et I « l'élève choisi étudie l'italien » sont indépendants.
Pour cela, on sait que $P\left ( V \right )\, =\, \frac{120}{300}\, =\, \frac{2}{5}$ , $P\left ( I \right )\, =\, \frac{100}{300}\, =\, \frac{1}{3}$ et $P\left ( V\, \cap \, I \right )\, =\, \frac{40}{300}\, =\, \frac{2}{15}$ .
On a donc : $P\left ( V \right )\, \times \, P\left ( I \right )\, =\, \frac{2}{5}\, \times \, \frac{1}{3}\, =\, \frac{2}{15}\, =\, P\left ( V\, \cap \, I \right )$ . Ainsi, les événements V et I sont indépendants.

Méthode 2

Pour représenter une succession de deux épreuves indépendantes et effectuer des calculs, il faut suivre les étapes suivantes :

Identifier la situation d'indépendance entre les deux épreuves grâce à des formulations dans l'énoncé qui permettent de valider cette information. Ce sera notamment le cas si les deux épreuves sont réalisées dans les mêmes conditions et identiques (pour un tirage avec remise).
Donner des noms aux événements traités si ce n'est pas fait dans l'exercice.
Dans l'arbre de probabilité (ou le tableau si c'est la demande faite dans l'exercice), ne pas oublier que grâce à l'indépendance, on a P_A(B) = P(B).

Exemple

Dans une population, 13 % des personnes sont gauchères. On interroge au hasard deux individus et on suppose la population suffisamment importante pour considérer que ces deux épreuves sont indépendantes.
On peut illustrer cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré comme ci-contre :

La probabilité que les deux personnes soient gauchères est donc : $P\left ( G\, \cap \, G \right )\, =\, P\left ( G \right )\, \times \, P\left ( G \right )\, =\, 0,13\, \times \, 0,13\, =\, 0,0169$ soit 1,69 %.
La probabilité qu'exactement l'une de ces personnes soit gauchère est : $P\left ( G\, \cap \, \bar{G} \right )\, +\, P\left ( \bar{G}\, \cap \, G \right )\, = \, P\left ( G \right )\, \times P\left ( \bar{G} \right )\, + \, P\left ( \bar{G} \right )\, \times \, P\left ( G \right )\, =\, 2\, \times \, 0,13\, \times \, 0,87\, =\, 0,2262$ soit 22,62 %.