Géométrie repérée (2)

L'essentiel du cours

Théorème 1 – Théorème de la médiane

Soit A et B deux points du plan et I le milieu de [AB].
Pour tout point M du plan, on a : $MA^{2}\, +\, MB^{2}\, =\, 2MI^{2}\, +\, \frac{AB^{2}}{2}$ .

Exemple

Dans la figure ci-contre, calculer la longueur KC.
D'après le théorème de la médiane, on a : $CA^{2}\, +\, CB^{2}\, =\, 2CK^{2}\, +\, \frac{AB^{2}}{2}$ .
On obtient : $7^{2}\, +\, 5^{2}\, =\, 2CK^{2}\, +\, \frac{8^{2}}{2}$ , soit 49 + 25 = 2CK² + 32, d'où 2CK² = 42.
On a donc : CK² = 21 et donc $CK\, =\, \sqrt{21}$ .

Théorème 2 – Théorème d'Al-Kashi

On se place dans un triangle ABC quelconque.
On a : $BC^{2}\, =\, BA^{2}\, +\, AC^{2}\, -\, 2\, \times \, AB\, \times \, AC\, \times \, cos\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right )$ .

Propriété 1

Soit A(x_A ; y_A) un point du plan et r un nombre réel strictement positif.
Alors tout point M(x ; y) dont les coordonnées vérifient l'équation : (x − x_A)² + (y − y_A)² = r² appartient au cercle de centre A et de rayon r.
On dit aussi que l'ensemble des points M(x ; y) du plan dont les coordonnées vérifient l'équation (x − x_A)² + (y − y_A)² = r² forment un cercle de centre A et de rayon r.
L'égalité (x − x_A)² + (y − y_A)² = r² est une équation cartésienne du cercle de centre A et de rayon r.

Exemple

Soit le cercle C de centre Ω(−9 ; 3) et de rayon $\sqrt{5}$ . Déterminer l'équation cartésienne du cercle C.
L'équation du cercle C est de la forme : (x − x_A)² + (y − y_A)² = r² soit $\left ( x\, -\left ( -9 \right ) \right )^{2}\, +\, \left ( y\, -\, 3\right )^{2}\, =\, \left ( \sqrt{5} \right )^{2}$ .
Ainsi l'équation cartésienne du cercle C est : (x + 9)² + (y − 3)² = 5.

Propriété 2

A et B étant deux points distincts du plan, le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M vérifiant : $\overrightarrow{MA}\, \cdot \, \overrightarrow{MB}\, =\, 0$ .

Exemple

On veut déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB], avec A(3 ; 5) et B(−2 ; 6).
Soit M(x ; y) un point quelconque du plan. Soit C le cercle de diamètre [AB] cherché.
On a : $\overrightarrow{MA}\binom{3\, -\, x}{5\, -\, y}$ et $\overrightarrow{MB}\binom{-2\, -\, x}{6\, -\, y}$ .
$M\, \in \, C\, \Leftrightarrow \, \overrightarrow{MA}\, \cdot \, \overrightarrow{MB}\, =\, 0\, \Leftrightarrow \, \left ( 3\, -\, x \right )\left ( -2\, -\, x \right )\, +\, \left ( 5\, -\, y \right )\left ( 6\, -\, y \right )\, =\, 0$
$\Leftrightarrow \, -6\, -3x\, +\, 2x\, +\, x^{2}\, +\, 30\, -\, 5y\, -\, 6y\, +\, y^{2}\, =\, 0\, \Leftrightarrow \, x^{2}\, -\, x\, +\, y^{2}\, -\, 11y\, +\, 24\, =\, 0$
$\Leftrightarrow \, \left ( x\, -\, \frac{1}{2} \right )^{2}\, -\, \frac{1}{4}\, +\, \left ( y\, -\, \frac{11}{2} \right )^{2}\, -\, \frac{121}{4}\, +\, 24\, =\, 0$
$\Leftrightarrow \, \left ( x\, -\, \frac{1}{2} \right )^{2}\, +\, \left ( y\, -\, \frac{11}{2} \right )^{2}\, -\, \frac{122}{4}\, +\, \frac{96}{4}\, =\, 0$
$\Leftrightarrow \, \left ( x\, -\, \frac{1}{2} \right )^{2}\, +\, \left ( y\, -\, \frac{11}{2} \right )^{2}\, -\, \frac{26}{4}$ est donc l'équation cartésienne du cercle C.

Méthodes de résolution

Méthode 1

Pour déterminer la mesure d'un angle avec le produit scalaire, il faut :

connaître la formule du produit scalaire utilisant l'angle ;
trouver la valeur du produit scalaire et des normes de la formule ;
en déduire la valeur de l'angle.

Méthode 2

Pour déterminer les caractéristiques d'un cercle lorsqu'on connaît son équation cartésienne, il faut :

connaître la formule de l'équation cartésienne d'un cercle ;
identifier dans l'équation les coordonnées du centre et la valeur du rayon du cercle cherché.

Exemples

• Quel est le cercle défini par l'équation cartésienne : (x − 9)² + (y − 12)² = 16 ?
Cette équation équivaut à écrire : (x − 9)² + (y − 12)² = 4². Elle correspond donc à un cercle de centre A(9 ; 12) et de rayon r = 4.

• Quel est le cercle défini par l'équation cartésienne : (x + 2)² + (y − 3)² = 49 ?
Cette équation équivaut à écrire : (x − (−2))² + (y − 3)² = 7². Elle correspond donc à un cercle de centre A(−2 ; 3) et de rayon r = 7.

• Quel est le cercle défini par l'équation cartésienne : x² + y² + 2x + 20y + 76 = 0 ?
En utilisant l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b², on peut écrire : (x + 1)² = x² + 2x + 1 soit x² + 2x = (x + 1)² − 1.
De même, on peut écrire : (y − 10)² = y² − 20y + 100 soit y² − 20y = (y − 10)² − 100
Cette équation équivaut donc à écrire : (x + 1)² − 1 + (y − 10)² − 100 + 76 = 0.
On obtient donc : (x − (−1))² + (y − 10)² = 101 − 76 soit (x − (−1))² + (y − 10)² = 5².
Cette équation correspond donc à un cercle de centre A(−1 ; 10) et de rayon r = 5.