Géométrie repérée (2)

L'essentiel du cours
Théorème 1 – Théorème de la médiane
Soit A et B deux points du plan et I le milieu de [AB].
Pour tout point M du plan, on a : MA^{2}\, +\, MB^{2}\, =\, 2MI^{2}\, +\, \frac{AB^{2}}{2}.
Géométrie repérée (2) - illustration 1
Exemple
Dans la figure ci-contre, calculer la longueur KC.
D'après le théorème de la médiane, on a : CA^{2}\, +\, CB^{2}\, =\, 2CK^{2}\, +\, \frac{AB^{2}}{2}.
On obtient : 7^{2}\, +\, 5^{2}\, =\, 2CK^{2}\, +\, \frac{8^{2}}{2}, soit 49 + 25 = 2CK2 + 32, d'où 2CK2 = 42.
On a donc : CK2 = 21 et donc CK\, =\, \sqrt{21}.
Géométrie repérée (2) - illustration 2
Théorème 2 – Théorème d'Al-Kashi
On se place dans un triangle ABC quelconque.
On a : BC^{2}\, =\, BA^{2}\, +\, AC^{2}\, -\, 2\, \times \, AB\, \times \, AC\, \times \, cos\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ).
Propriété 1
Soit A(xA ; yA) un point du plan et r un nombre réel strictement positif.
Alors tout point M(x ; y) dont les coordonnées vérifient l'équation : (x − xA)2 + (y − yA)2 = r2 appartient au cercle de centre A et de rayon r.
On dit aussi que l'ensemble des points M(x ; y) du plan dont les coordonnées vérifient l'équation (x − xA)2 + (y − yA)2 = r2 forment un cercle de centre A et de rayon r.
L'égalité (x − xA)2 + (y − yA)2 = r2 est une équation cartésienne du cercle de centre A et de rayon r.
Exemple
Soit le cercle C de centre Ω(−9 ; 3) et de rayon \sqrt{5}. Déterminer l'équation cartésienne du cercle C.
L'équation du cercle C est de la forme : (x − xA)2 + (y − yA)2 = r2 soit \left ( x\, -\left ( -9 \right ) \right )^{2}\, +\, \left ( y\, -\, 3\right )^{2}\, =\, \left ( \sqrt{5} \right )^{2}.
Ainsi l'équation cartésienne du cercle C est : (x + 9)2 + (y − 3)2 = 5.
Propriété 2
A et B étant deux points distincts du plan, le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M vérifiant : \overrightarrow{MA}\, \cdot \, \overrightarrow{MB}\, =\, 0.
Exemple
On veut déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB], avec A(3 ; 5) et B(−2 ; 6).
Soit M(x ; y) un point quelconque du plan. Soit C le cercle de diamètre [AB] cherché.
On a : \overrightarrow{MA}\binom{3\, -\, x}{5\, -\, y} et \overrightarrow{MB}\binom{-2\, -\, x}{6\, -\, y}.
M\, \in \, C\, \Leftrightarrow \, \overrightarrow{MA}\, \cdot \, \overrightarrow{MB}\, =\, 0\, \Leftrightarrow \, \left ( 3\, -\, x \right )\left ( -2\, -\, x \right )\, +\, \left ( 5\, -\, y \right )\left ( 6\, -\, y \right )\, =\, 0
\Leftrightarrow \, -6\, -3x\, +\, 2x\, +\, x^{2}\, +\, 30\, -\, 5y\, -\, 6y\, +\, y^{2}\, =\, 0\, \Leftrightarrow \, x^{2}\, -\, x\, +\, y^{2}\, -\, 11y\, +\, 24\, =\, 0
\Leftrightarrow \, \left ( x\, -\, \frac{1}{2} \right )^{2}\, -\, \frac{1}{4}\, +\, \left ( y\, -\, \frac{11}{2} \right )^{2}\, -\, \frac{121}{4}\, +\, 24\, =\, 0
\Leftrightarrow \, \left ( x\, -\, \frac{1}{2} \right )^{2}\, +\, \left ( y\, -\, \frac{11}{2} \right )^{2}\, -\, \frac{122}{4}\, +\, \frac{96}{4}\, =\, 0
\Leftrightarrow \, \left ( x\, -\, \frac{1}{2} \right )^{2}\, +\, \left ( y\, -\, \frac{11}{2} \right )^{2}\, -\, \frac{26}{4} est donc l'équation cartésienne du cercle C.
Méthodes de résolution
Méthode 1
Pour déterminer la mesure d'un angle avec le produit scalaire, il faut :
  • connaître la formule du produit scalaire utilisant l'angle ;
  • trouver la valeur du produit scalaire et des normes de la formule ;
  • en déduire la valeur de l'angle.
Méthode 2
Pour déterminer les caractéristiques d'un cercle lorsqu'on connaît son équation cartésienne, il faut :
  • connaître la formule de l'équation cartésienne d'un cercle ;
  • identifier dans l'équation les coordonnées du centre et la valeur du rayon du cercle cherché.
Exemples
• Quel est le cercle défini par l'équation cartésienne : (x − 9)2 + (y − 12)2 = 16 ?
Cette équation équivaut à écrire : (x − 9)2 + (y − 12)2 = 42. Elle correspond donc à un cercle de centre A(9 ; 12) et de rayon r = 4.
• Quel est le cercle défini par l'équation cartésienne : (x  + 2)2 + (y − 3)2 = 49 ?
Cette équation équivaut à écrire : (x − (−2))2 + (y − 3)2 = 72. Elle correspond donc à un cercle de centre A(−2 ; 3) et de rayon r = 7.
• Quel est le cercle défini par l'équation cartésienne : x2 + y2 + 2x + 20y + 76 = 0 ?
En utilisant l'identité remarquable (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, on peut écrire : (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 soit x2 + 2x = (x + 1)2 − 1.
De même, on peut écrire : (y − 10)2 = y2 − 20y + 100 soit y2 − 20y = (y − 10)2 − 100
Cette équation équivaut donc à écrire : (x + 1)2 − 1 + (y − 10)2 − 100 + 76 = 0.
On obtient donc : (x − (−1))2 + (y − 10)2 = 101 − 76 soit (x − (−1))2 + (y − 10)2 = 52.
Cette équation correspond donc à un cercle de centre A(−1 ; 10) et de rayon r = 5.
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