Les suites (2)

L'essentiel du cours

Définition 1

Soit $\mathit{n}\, \in \, \mathbb{N}$ .
Une suite (u_n) est une suite arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel r tel que u_n+1 = u_n + r.
Dans ce cas, le nombre r s'appelle la raison de la suite (u_n).

Propriété 1 – Terme général (expression de u_n en fonction de n)

Soit $\mathit{n}\, \in \, \mathbb{N}$ et $\mathit{p}\, \in \, \mathbb{N}$ .
Si (u_n) est une suite arithmétique de raison r, alors u_n = u_p + (n − p)r.
En particulier, on a également u_n = u₀ + nr.

Propriété 2 – Somme d'une suite arithmétique

Pour tout entier naturel n, non nul, on a : $1\, +\, 2\, +\, 3\, +\, \cdots \, +\, \mathit{n}\, =\, \frac{\mathit{n}(\mathit{n}\, +\, 1)}{2}$ .

Propriété 3 – Variations d'une suite arithmétique

Soit $\mathit{n}\, \in \, \mathbb{N}$ .
Si (u_n) est une suite arithmétique de raison r, alors :

elle est croissante si r > 0 ;
elle est décroissante si r < 0 ;
elle est constante si r = 0.

Généralités sur les suites géométriques

Définition 2

Soit $\mathit{n}\, \in \, \mathbb{N}$ .
Une suite (u_n) est une suite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que u_n+1 = q × u_n.
Dans ce cas, le nombre q s'appelle la raison de la suite (u_n).

Propriété 4 – Terme général (expression de u_n en fonction de n)

Soit $\mathit{n}\, \in \, \mathbb{N}$ et $\mathit{p}\, \in \, \mathbb{N}$ .
Si (u_n) est une suite géométrique de raison q, alors u_n = q^n−p × u_p.
En particulier, on a également u_n = qⁿ × u₀.

Propriété 5 – Somme d'une suite géométrique

Pour tout entier naturel n non nul et tout nombre réel $\mathit{q}\, \neq \, 1\, +\, q\, +\, \mathit{q}^{2}\, \cdots \, +\, \mathit{q}^{\mathit{n}}\, =\, \frac{1\, -\, \mathit{q}^{\mathit{n}+1}}{1\, -\, \mathit{q}}$ .

Propriété 6 – Variations d'une suite géométrique

Si (u_n) est une suite arithmétique de raison q, avec u_n > 0 pour tout entier naturel n, alors :

elle est croissante si q > 1 ;
elle est décroissante si 0 < q < 1 ;
elle est constante si q = 1.

Remarque : Lorsque la raison q < 0, la suite alterne entre une valeur positive et une valeur négative, elle ne peut donc pas être monotone.

Représentations et méthodes

Suites arithmétiques

Méthode 1

Pour montrer qu'une suite (u_n) est arithmétique, il faut :

calculer la différence u_n+1 − u_n ;
obtenir un résultat constant et indépendant de l'entier naturel n.

Exemple

Soit (u_n) la suite définie pour tout entier naturel n par u : $\mathit{n}\, \mapsto \, -\, 3\mathit{n}\, +\, 5$ .
On calcule : u_n+1 − u_n = −3(n + 1) + 5 − (−3n + 5) = − 3n − 3 + 5 + 3n − 5 = −3.
La suite (u_n) est bien une suite arithmétique de raison r = − 3 et de premier terme u₀ = − 3 × 0 + 5 = 5.
Dans ce cas, comme r > 0, on sait que cette suite est strictement croissante.

Méthode 2

Pour calculer la somme des termes d'une suite (u_n) arithmétique, il faut :

faire apparaître la somme 1 + 2 + 3 + … + n en factorisant l'expression (et en la modifiant) ;
bien compter le nombre de termes pour ne pas en oublier ;
utiliser la formule du cours.

Exemple

On souhaite calculer la somme 20 + 24 + 28 + … + 144.
On a : 20 + 24 + 28 + … + 144 =20 + (20 + 4) + (20 + 4 × 2) + … + (20 + 4×31) = 20 × 32 + 4 × (1 + 2 + 3 + … + 31) = 640 + 4 × $\frac{31\, \times \, 32}{2}\,$ = 2 624.

Suites géométriques

Méthode 3

Pour montrer qu'une suite (u_n) est géométrique, il faut :

calculer u_n+1 et l'exprimer en fonction de u_n ;
en déduire la valeur de la raison q de cette suite.

Exemple

Soit (v_n) la suite définie pour tout entier naturel n par v : $\mathit{n}\, \mapsto \, \mathit{u}\, _{\mathit{n}}\, +\, 5$ et avec u_n+1 = 2u_n + 5 et u₀ = 3.
On calcule : v_n+1 = u_n+1 + 5 = (2u_n + 5) + 5 = 2u_n + 10 = 2(u_n + 5) = 2 × v_n.
La suite (u_n) est bien une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme v₀ = u₀ + 5 = 8.
Dans ce cas, comme q > 1 et que tous les termes de la suite sont strictement positifs, on sait que cette suite est strictement croissante.

Méthode 4

Pour calculer la somme des termes d'une suite (u_n) géométrique, il faut :

faire apparaître la somme 1 + q + q² + … + qⁿ en factorisant l'expression (et en la modifiant) ;
utiliser la formule du cours.

Exemple

On souhaite calculer la somme 6 − 36 + 216 − 1 296 + 7 776.
On a : 6 − 36 + 216 − 1296 + 7 776 = 6 × (1 − 6 + 36 − 216 + 1 296) = 6 × ((− 6)⁰ + (− 6)¹ + ( − 6)² + ( − 6)³ + ( − 6)⁴) = $6\, \times \, \frac{1\, -\, (-\, 6)^{4+1}}{1\, -\, (-6)}\, =\, 6\, \times \, \frac{1\,-\,(-\, 6)^{5}}{7}$ = 6 666

Les suites (2)

L'essentiel du cours

Définition 1

Propriété 1 – Terme général (expression de un en fonction de n)

Propriété 2 – Somme d'une suite arithmétique

Propriété 3 – Variations d'une suite arithmétique

Généralités sur les suites géométriques

Définition 2

Propriété 4 – Terme général (expression de un en fonction de n)

Propriété 5 – Somme d'une suite géométrique

Propriété 6 – Variations d'une suite géométrique

Représentations et méthodes

Suites arithmétiques

Suites géométriques

Propriété 1 – Terme général (expression de u_n en fonction de n)

Propriété 4 – Terme général (expression de u_n en fonction de n)