Les suites (1)

L'essentiel du cours

Intuitivement, une suite réelle est une liste ordonnée de nombres réels.

Définition 1

Soit $n_{0}\, \in \, \mathbb{N}$ . Une suite numérique est une fonction définie pour tout entier naturel $n\, \geq \, n_{0}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ . La suite est notée $\left ( u_{n} \right )$ et elle associe à chaque entier naturel $n\, \geq \, n_{0}$ un nombre $u\left ( n \right )$ de la suite.

Exemple

La suite des entiers naturels impairs u₀ = 1, u₁ = 3, u₂ = 5 … rangés dans l'ordre croissant est une suite.

Définition 2

On dit qu'une suite est définie par une relation explicite, si on connaît une expression de son terme général u_n en fonction de n. Ainsi pour tout entier naturel n, u_n = f(n) où f est une fonction.
Dans ce cas, on peut calculer facilement n'importe quel terme de cette suite.

Exemple

v_n = 3n + 2 et alors v₀ = 3 × 0 + 2 = 2 et v₅ = 3 × 5 + 2 = 17.

Définition 3

Une suite est définie par une relation de récurrence, quand elle est définie par la donnée de :

son premier terme (ou ses premiers termes) ;
d'une relation qui permet de calculer chaque terme en fonction du (ou des) terme(s) précédent(s).

On a alors une expression de u(n+1) en fonction de u_n.
Dans ce cas, on doit calculer chaque terme de cette suite les uns après les autres pour obtenir celui qui est souhaité.

Exemple

w_n+1 = 3w_n + 2 et w₀ = 4 alors pour obtenir w₃ on doit calculer w₁ et w₂.
w₁ = 3w₀ + 2 = 3 × 4 + 2 = 14 ; w₂ = 3w₁ + 2 = 44 et w₃ = 3w₂ + 2 = 134.

Variations d'une suite

Définition 4

Soit $n\, \in \, \mathbb{N}$ .

Une suite $\left ( u_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ est dite croissante, si pour tout entier naturel n, on a u_n+1 u_n.
Une suite $\left ( u_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ est dite décroissante, si pour tout entier naturel n, u_n+1 u_n.
Une suite est dite monotone à partir d'un rang n₀ lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante à partir de ce rang n₀.

Remarque : on parle de suite strictement croissante ou décroissante si les inégalités sont strictes.

Représentations et méthodes

Observation : dans le plan muni d'un repère, les points du nuage représentant une suite de terme général u_n = f(n) où $n\, \in \, \mathbb{N}$ , sont situés sur la courbe représentative de la fonction f . Ce sont donc tous les points de coordonnées (n ; u_n).
Application : soit v la suite définie sur $\mathbb{N}$ par v_n = 2n + 1. On représente ses premiers termes dans le graphique ci-dessous.

Remarque : Si une suite est définie par une relation de récurrence, on ne peut calculer un terme qu'après avoir calculé tous les termes précédents. On utilisera alors souvent des algorithmes ou le tableur.

Méthodes pour déterminer le sens de variation d'une suite $\left ( u_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ .

1. On étudie le signe de la différence u_n+1 − u_n.
Si pour tout entier n , on a u_n+1 − u_n > 0, alors la suite est croissante.
Si pour tout entier n, on a u_n+1 − u_n < 0, alors la suite est décroissante.

2. On étudie les variations de la fonction f.
Si pour tout entier n, la suite u_n est définie par u_n = f(n), alors les variations de la fonction f sur $\left [ 0\, ;\, +\infty \right [$ seront également les variations de la suite u_n.

3. On étudie le quotient $\frac{\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{n}+1}}{\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{n}}}$ lorsque les termes de la suite sont strictement positifs.
Si pour tout entier n, on a $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\, > \, 1$ , alors la suite est strictement croissante.
Si pour tout entier n, on a $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\, < \, 1$ , alors la suite est strictement décroissante.

Exemple

Soit $\left ( u_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ la suite définie par u : $n\, \mapsto n^{2}$ .

1. On calcule : u_n+1 − u_n = (n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1. Comme $n\, \in \, \mathbb{N}$ , on en déduit que 2n + 1 > 0 et donc que u_n+1− u_n > 0.
La suite $\left ( u_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ est donc strictement croissante.

2. Pour tout entier n, la suite u_n est définie par u_n = f(n), avec f(x) = x². La fonction carré est croissante sur $\left [ 0\, ;\, +\infty \right [$ donc la suite u_n est strictement croissante.

3. Comme la suite est définie par une expression dont tous les termes sont strictement positifs pour $n\, \in \, \mathbb{N}^{*}$ , on calcule : $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\, = \, \frac{\left ( n\, +\, 1 \right )^{2}}{n^{2}}\, =\, \frac{n^{2}\, +\, 2n\, +\, 1}{n^{2}}\, =\, 1\, +\, \frac{2}{n}\, +\, \frac{1}{n^{2}}$ . Comme $n\, \in \, \mathbb{N}$ , on en déduit que $\frac{2}{n}\, +\, \frac{1}{n^{2}}\, > \, 0$ , soit $1\, +\, \frac{2}{n}\, +\, \frac{1}{n^{2}}\, > \, 1$ , et donc que $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\, > \, 1$ .
La suite $\left ( u_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ est donc strictement croissante.

Les suites (1)

L'essentiel du cours

Définition 1

Définition 2

Définition 3

Variations d'une suite

Définition 4

Représentations et méthodes

Méthodes pour déterminer le sens de variation d'une suite .

Méthodes pour déterminer le sens de variation d'une suite $\left ( u_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ .