Les suites (2)

L'essentiel du cours
Définition 1
Soit \mathit{n}\, \in \, \mathbb{N}.
Une suite (un) est une suite arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel r tel que un+1 = un + r.
Dans ce cas, le nombre r s'appelle la raison de la suite (un).
Propriété 1 – Terme général (expression de un en fonction de n)
Soit \mathit{n}\, \in \, \mathbb{N} et \mathit{p}\, \in \, \mathbb{N}.
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors un = up + (n − p)r.
En particulier, on a également un = u0 + nr.
Propriété 2 – Somme d'une suite arithmétique
Pour tout entier naturel n, non nul, on a : 1\, +\, 2\, +\, 3\, +\, \cdots \, +\, \mathit{n}\, =\, \frac{\mathit{n}(\mathit{n}\, +\, 1)}{2}.
Propriété 3 – Variations d'une suite arithmétique
Soit \mathit{n}\, \in \, \mathbb{N}.
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors :
  • elle est croissante si r > 0 ;
  • elle est décroissante si r < 0 ;
  • elle est constante si r = 0.
Généralités sur les suites géométriques
Définition 2
Soit \mathit{n}\, \in \, \mathbb{N}.
Une suite (un) est une suite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que un+1 = q × un.
Dans ce cas, le nombre q s'appelle la raison de la suite (un).
Propriété 4 – Terme général (expression de un en fonction de n)
Soit \mathit{n}\, \in \, \mathbb{N} et \mathit{p}\, \in \, \mathbb{N}.
Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors un = qn−p × up.
En particulier, on a également un = qn × u0.
Propriété 5 – Somme d'une suite géométrique
Pour tout entier naturel n non nul et tout nombre réel \mathit{q}\, \neq \, 1\, +\, q\, +\, \mathit{q}^{2}\, \cdots \, +\, \mathit{q}^{\mathit{n}}\, =\, \frac{1\, -\, \mathit{q}^{\mathit{n}+1}}{1\, -\, \mathit{q}}.
Propriété 6 – Variations d'une suite géométrique
Si (un) est une suite arithmétique de raison q, avec un > 0 pour tout entier naturel n, alors :
  • elle est croissante si q > 1 ;
  • elle est décroissante si 0 < q < 1 ;
  • elle est constante si q = 1.
Remarque : Lorsque la raison q < 0, la suite alterne entre une valeur positive et une valeur négative, elle ne peut donc pas être monotone.
Représentations et méthodes
Suites arithmétiques
Méthode 1
Pour montrer qu'une suite (un) est arithmétique, il faut :
  • calculer la différence un+1 − un ;
  • obtenir un résultat constant et indépendant de l'entier naturel n.
Exemple
Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par u : \mathit{n}\, \mapsto \, -\, 3\mathit{n}\, +\, 5.
On calcule : un+1 − un = −3(n + 1) + 5 − (−3n + 5) = − 3n − 3 + 5 + 3n − 5 = −3.
La suite (un) est bien une suite arithmétique de raison r = − 3 et de premier terme u0 = − 3 × 0 + 5 = 5.
Dans ce cas, comme r   > 0, on sait que cette suite est strictement croissante.
Méthode 2
Pour calculer la somme des termes d'une suite (un) arithmétique, il faut :
  • faire apparaître la somme 1 + 2 + 3 + … + n en factorisant l'expression (et en la modifiant) ;
  • bien compter le nombre de termes pour ne pas en oublier ;
  • utiliser la formule du cours.
Exemple
On souhaite calculer la somme 20 + 24 + 28 + … + 144.
On a : 20 + 24 + 28 + … + 144 =20 + (20 + 4) + (20 + 4 × 2) + … + (20 + 4×31) = 20 × 32 + 4 × (1 + 2 + 3 + … + 31) = 640 + 4 × \frac{31\, \times \, 32}{2}\, = 2 624.
Suites géométriques
Méthode 3
Pour montrer qu'une suite (un) est géométrique, il faut :
  • calculer un+1 et l'exprimer en fonction de un ;
  • en déduire la valeur de la raison q de cette suite.
Exemple
Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par v : \mathit{n}\, \mapsto \, \mathit{u}\, _{\mathit{n}}\, +\, 5 et avec un+1 = 2un + 5 et u0 = 3.
On calcule : vn+1 = un+1 + 5 = (2un + 5) + 5 = 2un + 10 = 2(un + 5) = 2 × vn.
La suite (un) est bien une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme v0 = u0 + 5 = 8.
Dans ce cas, comme q > 1 et que tous les termes de la suite sont strictement positifs, on sait que cette suite est strictement croissante.
Méthode 4
Pour calculer la somme des termes d'une suite (un) géométrique, il faut :
  • faire apparaître la somme 1 + q + q2 + … + qn en factorisant l'expression (et en la modifiant) ;
  • utiliser la formule du cours.
Exemple
On souhaite calculer la somme 6 − 36 + 216 − 1 296 + 7 776.
On a : 6 − 36 + 216 − 1296 + 7 776 = 6 × (1 − 6 + 36 − 216 + 1 296) = 6 × ((− 6)0 + (− 6)1 + ( − 6)2 + ( − 6)3 + ( − 6)4) = 6\, \times \, \frac{1\, -\, (-\, 6)^{4+1}}{1\, -\, (-6)}\, =\, 6\, \times \, \frac{1\,-\,(-\, 6)^{5}}{7} = 6 666
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