Sujet national, juin 2026, exercice 2

Exercice sur 4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\, \textit{;}\, \vec{i},\, \vec{j},\, \vec{k})$ .
On considère :

• la droite (d) dont une représentation paramétrique est :
$\left\{\begin{matrix}x\, =\, t \\y\, =\, -\, 1,5\, -\, t \, \, \textrm{o}\grave{\textrm{u}} \, \, t\, \in \, \mathbb{R} \\z\, =\, 2\, -\, 2t \\\end{matrix}\right.$ ;

• les points A (3 ; 0 ; 2) et B(2 ; 1 ; −3) ;

• le plan (P) d'équation : −x + y − 5z − 0,5 = 0.

a. Affirmation 1 : Le plan (P) est orthogonal à la droite (AB), et passe par le milieu du segment [AB].

b. Affirmation 2 : Les droites (d) et (AB) sont sécantes.

c. On considère le point C de coordonnées (1,5 ; −3 ; −1).
Affirmation 3 : La mesure de l'angle $\widehat{ACB}$ , arrondie à 10⁻¹, est égale à 70,5°.

Titouan et Clotilde participent à un escape game. Ils se retrouvent dans une salle possédant deux portes de sortie, A et B, chacune protégée par un digicode équipé de 8 touches portant des symboles différents :

• le digicode de la porte A utilise un code de 3 symboles différents devant être saisis dans l'ordre ;

• celui de la porte B utilise un code de 4 symboles différents qui peuvent être saisis dans n'importe quel ordre.

N'étant pas parvenus à obtenir d'indices, ils décident de procéder au hasard à la saisie des codes. Clotilde choisit un code pour la porte A, et Titouan choisit un code pour la porte B.On considère que les choix des codes sont équiprobables.
Affirmation 4 : Titouan a plus de chances d'ouvrir sa porte que Clotilde.

Corrigé

1. a.

Soit E le milieu de [AB]. On a :
$E\left ( \frac{x_{A}\, +\, x_{B}}{2}\, ;\, \frac{y_{A}\, +\, y_{B}}{2}\, ;\, \frac{Z_{A}\, +\, Z_{B}}{2} \right )$
$E\left ( \frac{3\, +\, 2}{2}\, ;\, \frac{0\, +\, 1}{2}\, ;\, \frac{2\, +\, (-3)}{2} \right )$
$E\left ( \frac{5}{2}\, ;\, \frac{1}{2}\, ;\, -\frac{1}{2} \right )$
Vérifions si E appartient au plan (P) ; cela revient à vérifier si les coordonnées de E vérifient l'équation cartésienne proposée pour (P).
On a : $-x_{E}\, +\, y_{E}\, -\, 5z_{E}\, -\, 0,5\, =\, -\frac{5}{2}\, +\, \frac{1}{2}\, -5\, \times \, (-\frac{1}{2})\, -\, 0,5\, =\, 0.$
Donc on a bien $E\, \in \, (P)$ .
Vérifions maintenant si (P) est orthogonal à (AB).
On rappelle que si (P) a pour équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 alors $\vec{n}\begin{pmatrix}a \\b\\c\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à (P).
Un vecteur normal à (P) est donc $\vec{n}\begin{pmatrix}-1 \\1\\-5\end{pmatrix}$ car (P) : −x + y − 5z − 0,5 = 0.
La droite (AB) est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ . Déterminons les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ :
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_{B}\,-\, x_{A} \\y_{B}\,-\, y_{A}\\z_{B\,-\, z_{A}}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\, -\, 3 \\1\, -\, 0\\-3\, -\, 2\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1 \\1\\-5\end{pmatrix}$
On observe que $\overrightarrow{AB}\, =\, \vec{n}$ ; ces deux vecteurs sont égaux et donc colinéaires.
Ainsi la droite (AB) est orthogonale au plan (P) ou encore le plan (P) est orthogonal à (AB).
L'affirmation 1 est donc vraie.

b. Déterminons une représentation paramétrique de (AB) :
$(AB):\, \left\{\begin{matrix}x\, =\, x_{A}\, +\, x_{\overrightarrow{AB}}\, \times \, k \\y\, =\, y_{A}\, +\, y_{\overrightarrow{AB}}\, \times \, k,\, k\, \in \, \textrm{R}\\z\, =\, z_{A}\, +\, z_{\overrightarrow{AB}}\, \times \, k\end{matrix}\right.$
$(AB):\, \left\{\begin{matrix}x\, =\, 3\, +\, (-1)\, \times \, k \\y\, =\, 0\, +\, 1\, \times \, k, \, k\, \in \, \textrm{R}\\z\, =\, 2\, +\, (-5)\, \times \, k\end{matrix}\right.$
$(AB):\left\{\begin{matrix}x\, =\, 3\, -\, k \\y\, =\, k,\,k\, \in \, \textrm{R}\\z\, =\, 2\, -\, 5k\end{matrix}\right.$
Pour déterminer si (AB) et (d) sont sécantes, on résout le système :
$\left\{\begin{matrix}t\, =\, 3\, -\, k \\-1,5\, -\, t\,=\, k\\2\, -\, 2t\, =\,2\, -\, 5k\end{matrix}\right.$
Par substitution, on va remplacer t par 3 − k dans la deuxième et la troisième équation :
$\left\{\begin{matrix}t\, =\, 3\, -\, k \\-1,5\, -\, (3\,-\, k)\, =\, k\\2\, -\, 2(3\, -\, k)\, =\, 2\, -\, 5k\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}t\, =\, 3\, -\, k \\-1,5\, -3\,+\, k\, =\, k\\2\, -\, 6\, +\, 2k\, =\, 2\, -\, 5k\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}t\, =\, 3\, -\, k \\0k\, =\, 4,5\\7k\, =\, 6\end{matrix}\right.$
L'équation 0k = 4,5 n'admet aucune solution, donc les droites (AB) et (d) ne sont pas sécantes.
L'affirmation 2 est donc fausse.

Un outil utilisé pour déterminer une mesure d'un angle géométrique dans l'espace est le produit scalaire.
L'angle $\widehat{ACB}$ est l'angle formé par les vecteurs $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}$ .
On a : $\overrightarrow{\mathbf{CA}}\mathbf{.}\overrightarrow{\mathbf{CB}}\, =\, \left\| \overrightarrow{\mathbf{CA}}\right\| \, \times \, \left\| \overrightarrow{\mathbf{CB}}\right\| \, \times \, \mathbf{cos\mathrm{}}(\widehat{\mathbf{ACB}})$
Déterminons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}$ :
$\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}3\, -\, 1,5 \\0\, -\, (-3) \\2\, -\, (-1)\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}1,5 \\3 \\3\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix}2\, -\, 1,5 \\1\, -\, (-3) \\-3\, -\, (-1)\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix}0,5 \\4 \\-2\end{pmatrix}$
On peut en déduire le produit scalaire de ces deux vecteurs grâce à la formule analytique :
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\, =\, x_{\overrightarrow{CA}}\, \times \, x_{\overrightarrow{CB}}\, +\, y_{\overrightarrow{CA}}\, \times \, y_{\overrightarrow{CB}}\, +\, z_{\overrightarrow{CA}}\, \times \, z_{\overrightarrow{CB}}$
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\, =\, 1,5\, \times \, 0,5\, +\, 3\, \times \, 4\, +\, 3\, \times \, (-2)\, =\, 6,75$
On calcule ensuite les normes des vecteurs :
$\left\| \overrightarrow{CA}\right\| \, =\, \sqrt{x_{\overrightarrow{CA}}^{}2\, +\, y_{\overrightarrow{CA}}^{}2\, +\, z_{\overrightarrow{CA}}^{}2}$
$\left\| \overrightarrow{CA}\right\| \, =\, \sqrt{1,5^{2}\, +\, 3^{2}\, +\, 3^{2}}\, =\, \sqrt{20,25}\, =\, 4,5$
$\left\| \overrightarrow{CB}\right\| \, =\, \sqrt{0,5^{2}\, +\, 4^{2}\, +\, (-2)^{2}}\, =\, \sqrt{20,25}\, =\, 4,5$

Cela n'est pas demandé mais le triangle ACB est donc isocèle en C car CA = CB.

On a : $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\, =\, \left\| \overrightarrow{CA}\right\| \, \times \, \left\| \overrightarrow{CB}\right\| \, \times \, \textrm{cos}(\widehat{ACB})$
En remplaçant par les valeurs déterminées, on a donc :
$6,75\, =\, 4,5\, \times \, 4,5\, \times \, \textrm{cos}(\widehat{ACB})$
$6,75\, =\, 20,25\, \times \, \textrm{cos}(\widehat{ACB})$
$20,25\, \times \,\textrm{cos}(\widehat{ACB})\, =\, 6,75$
On divise les deux membres de l'égalité par 20,25 :
$\frac{20,25\, \times \, \textrm{cos}(\widehat{ACB})}{20,25}\, =\, \frac{6,75}{20,25}$
$\textrm{cos}(\overrightarrow{ACB})\, =\, \frac{1}{3}$
On cherche donc une mesure d'angle dont le cosinus est égal à $\frac{1}{3}$ .
En utilisant la fonctionnalité Arccos de la calculatrice (avec un réglage en degrés) on a :
$Arccos\left ( \frac{1}{3} \right )\, \approx \, 70,5$
Ainsi $\widehat{ACB}\, \approx \, 70,5^{\circ}.$
L'affirmation 3 est donc vraie.

2. Soit E = {touche1 ; … ; touche8}. On a card(E) = 8.
Le nombre de digicodes à tester pour ouvrir la porte A est le nombre d'arrangements de 3 éléments de E c'est-à-dire le nombre de 3-uplets d'éléments distincts de E (car l'ordre est pris en compte et la répétition non autorisée).
Ce nombre est égal à :
$\frac{8!}{(8\, -\, 3)!}\, =\, \frac{8\, \times \, 7\, \times \, 6\, \times \, 5\, \times \, 4\, \times \, 3\, \times \, 2\, \times \, 1}{5\, \times \, 4\, \times \, 3\, \times \, 2\, \times \, 1}\, =\, 8\, \times 7\, \times \, 6\, =\, 336$
Le nombre de digicodes à tester pour ouvrir la porte B est le nombre de combinaisons de 4 éléments de E (car l'ordre n'est pas pris en compte et la répétition non autorisée).
Ce nombre est égal à
$\binom{8}{4}\, =\, \frac{8!}{(8\, -\, 4)!\, \times \, 4!}\, =\, \frac{8\, \times \, 7\, \times \, 6\, \times \, 5\, \times \, 4}{4!\, \times \, 4!}\, =\, 70$
Le choix des codes étant équiprobable, la probabilité que Clotilde ouvre sa porte est égale à $\frac{1}{336}$ et la probabilité que Titouan ouvre sa porte est égale à $\frac{1}{70}$ .
On a $\frac{1}{70}\, > \, \frac{1}{336}$ donc Titouan a plus de chances d'ouvrir sa porte que Clotilde.
L'affirmation 4 est donc vraie.

Voir le corrigé

Corrigé

1. a.

Cela n'est pas demandé mais le triangle ACB est donc isocèle en C car CA = CB.