Sujet national, juin 2026, exercice 1

Énoncé

Exercice sur 5 points
Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. Lors d'une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu'un emplacement pour un véhicule.

Partie A

Parmi l'ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que 30 % réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, 80 % réservent une cabine.
On sait par ailleurs que 75 % des familles effectuant la traversée réservent une cabine.
On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les événements suivants :
V : « la famille réserve un emplacement pour un véhicule » ;
C : « la famille réserve une cabine ».
Pour un événement quelconque E, on désigne par $\bar{E}$ son événement contraire et par P(E) sa probabilité.

a. Donner P(C).

b. Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les quatre pointillés.

2. Calculer la probabilité qu'une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine.

3. Une famille a réservé une cabine. Déterminer la probabilité qu'elle réserve un emplacement pour un véhicule.

4. Déterminer $P_{\bar{v}}\left ( C \right )$ . On arrondira le résultat à 10⁻².
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Sur ce trajet, la réservation d'une cabine et d'un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée.
Ces suppléments sont d'un montant de :

• 100 € pour une cabine ;

• 70 € pour l'emplacement d'un véhicule.

On suppose qu'une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.
À ces suppléments peuvent s'ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).
On note X la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les suppléments.
On donne ci-dessous la loi de probabilité de X.

x_i	0	70	100	170
P(X = x_i)	0,19	0,06	0,51	0,24

On note Y la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les extras.
On admet que la variable aléatoire Y a pour espérance E(Y) = 104 et pour variance V(Y) = 1 686.
On suppose que les variables X et Y sont indépendantes.

1. Justifier que E(X) = 96 et que V(X) = 3 114.

À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de 40 % sur les suppléments et les extras.
On note Z la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.

a. Justifier que Z = 0,6(X + Y).

b. En déduire que E(Z) = 120 et que V(Z) = 1 728, où E(Z) est l'espérance de la variable aléatoire Z et V(Z) sa variance.

On note n un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de n familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question 2.
On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.
On désigne par Z₁ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, Z₂ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, Zn la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la n-ième famille.
On considère la variable aléatoire $M_{n}\, = \, \frac{Z_{1}\, +\, Z_{2}\, +\, \cdots \, +\, Z_{n}}{n}$ donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles.
On admet que les variables Z₁, Z₂, …, Zn sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire Z.

a. Montrer que l'espérance E(Mn) de la variable Mn est égale à 120, et que sa variance V(Mn) est égale à $\frac{1\, 728}{n}$ .

b. Déterminer le plus petit entier n pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que $\textrm{P}\left ( 114\, < \, Mn \, < \, 126\right )\, \geqslant \, 0,85$ .
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Corrigé

Partie A

a. $P\left ( C \right )\, =\, \frac{75}{100}\, =\, 0,75$ car 75 % des familles effectuant la traversée réservent une cabine.

b. D'après l'énoncé : 30 % des familles réservent un emplacement pour un véhicule donc $P\left ( V \right )\, =\, \frac{30}{100}\, =\, 0,3$ .
Ainsi $P\left ( \bar{V} \right )\, =\, 1\, -\, P\left ( V \right )\, =\, 1\, -\, 0,3\, =\, 0,7$ .
Parmi les familles réservant un emplacement pour un véhicule, 80 % réservent une cabine, donc :
$P_{V}\left ( C \right )\, =\, \frac{80}{100}\, =\, 0,8$ .
Ainsi, $P_{V}\left ( \bar{C} \right )\, =\, 1\, -\, P_{V}\left ( C \right )\, =\, 1\, -\, 0,8\, =\, 0,2$ .
On peut ainsi compléter l'arbre probabiliste suivant :

2. « Une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine » est l'événement $V\, \cap \, C$ car le « et » se traduit en langage ensembliste par l'intersection. Ainsi, on a :
$P\left ( V\, \cap \, C \right )\, =\, P\left ( V \right )\, \times \, P_{V}\left ( C \right )\, =\, 0,3\, \times \, 0,8\, =\, 0,24$

3. Une famille a réservé une cabine : donc l'événement C est déjà réalisé.
Déterminer la probabilité qu'elle réserve un emplacement pour un véhicule (c'est-à-dire que l'événement V se réalise) revient à calculer la probabilité conditionnelle P_C(V). On rappelle que $C\, \cap \, V\, =\, V\, \cap \, C$ par commutativité. On a alors :
$P_{C}\left ( V \right )\, =\,\frac{P\left ( C\, \cap \, V\right )}{P\left ( C \right )}\, =\, \frac{P\left ( V\, \cap \, C \right )}{0,75}\, =\, \frac{0,24}{0,75}\, =\, 0,32$

4. $P_{\bar{V}}\left ( C \right )$ est la probabilité que la famille ait réservé une cabine sachant qu'elle n'a pas réservé d'emplacement pour un véhicule.
Cette probabilité est inconnue : la branche de l'arbre n'est pas pondérée.
On pense alors à utiliser la formule suivante :
$P_{\bar{V}}\left ( C \right )\, =\, \frac{P\left ( \bar{V}\, \cap \, C \right )}{P\left ( \bar{V} \right )}\, =\, \frac{P\left ( \bar{V}\, \cap \, C \right )}{0,7}$
Mais $P\left ( \bar{V}\, \cap \, C \right )$ ne peut pas se calculer grâce à l'arbre. On connaît cependant P(C) et $P\left ( V\, \cap \, C \right )$ . On pense alors à utiliser la loi des probabilités totales.
Les événements V et $\bar{V}$ étant contraires, ils forment donc une partition de l'univers.
On a l'égalité suivante : $P\left ( C \right )\, =\, P\left ( V\, \cap \, C \right )\, +\, P\left ( \bar{V}\, \cap \, C \right )$ .
Soit : $0,75\, =\, 0,24\, +\, P\left ( \bar{V}\, \cap \, C \right )$
Ou encore $0,24\, +\, P\left ( \bar{V}\, \cap \, C \right )\, =\, 0,75$
Ainsi : $P\left ( \bar{V}\, \cap \, C \right )\, =\, 0,75\, -\, 0,24\, =\, 0,51$
$P_{\bar{V}}\left ( C \right )\, =\, \frac{P\left ( \bar{V}\, \cap \, C \right )}{0,7}\, =\, \frac{0,51}{0,7}\, =\, \frac{51}{70}\, \approx \, 0,73$
Ainsi, la probabilité que la famille ait réservé une cabine sachant qu'elle n'a pas réservé d'emplacement pour un véhicule est égale à environ 0,73.
Autre interprétation possible :
Parmi les familles qui n'avaient pas réservé d'emplacement pour un véhicule, environ 73 % d'entre elles ont néanmoins réservé une cabine.

Partie B

1. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :

Valeur x_i	x₁	x₂	…	x_n
Probabilité p_i = P(X =x_i)	p₁	p₂	…	p_n

Alors l'espérance mathématique de la variable aléatoire X, notée E(X), est le résultat moyen obtenu par expérience lorsque l'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire, soit :
$\boldsymbol{E}\left ( \boldsymbol{X} \right )\, =\, \boldsymbol{x}_{\textbf{1}}\boldsymbol{p}_{\textbf{1}}\, +\, \boldsymbol{x}_{\textbf{2}}\boldsymbol{p}_{\textbf{2}}\, +\, \cdots \, \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\, =\, \sum_{\boldsymbol{i}=\textbf{1}}^{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}$
La variance de X est le nombre réel noté V(X) et défini par :
$\boldsymbol{V}\left ( \boldsymbol{X} \right )\, =\, \boldsymbol{p}_{\textbf{1}}\left ( \boldsymbol{x}_{\textbf{1}}\, -\,\boldsymbol{E}\left ( \boldsymbol{X} \right ) \right )^{\textbf{2}}\, +\, \boldsymbol{p}_{\textbf{2}}\left ( \boldsymbol{x}_{\textbf{2}}\, -\,\boldsymbol{E}\left ( \boldsymbol{X} \right ) \right )^{\textbf{2}}\, +\,\cdots \, +\, \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\left ( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}}\, -\,\boldsymbol{E}\left ( \boldsymbol{X} \right ) \right )^{\textbf{2}}\, =\: \sum_{\boldsymbol{i}=\textbf{1}}^{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}\left ( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\, -\, \boldsymbol{E}\left ( \boldsymbol{X} \right ) \right )^{\textbf{2}}$
Ainsi, en appliquant ces formules, on a :
E(X) = 0 × 0,19 + 70 × 0,06 + 100 × 0,51 + 170 × 0,24
E(X) = 96
V(X) = 0,19 × (0 − 96)² + 0,06 × (70 − 96)² + 0,51 × (100 − 96)² + 0,24 × (170 − 96)²
V(X) = 3114

a. Diminuer un nombre positif de t% revient à multiplier ce nombre par : $\left ( 1\, -\, \frac{t}{100} \right )$ .
$Z\, =\, \left ( 1\, -\, \frac{40}{100} \right )\, \times \, \left ( X\, +\, Y \right )$
Z = 0,6(X + Y)

b. L'espérance mathématique est linéaire, donc :
E(Z) = E(0,6(X + Y)) = 0,6 × E(X + Y)
E(Z) = 0,6 × (E(X) + E(Y)) = 0,6 × (96 + 104) = 0,6 × 200 = 120
Par contre, la variance n'est pas linéaire :
V(Z) = V(0,6(X + Y)) = 0,6² × V(X + Y)
Comme les variables X et Y sont indépendantes, alors on a : V(X + Y) = V(X) + V(Y). Ainsi :
V(Z) = 0,36 × (V(X) + V(Y)) = 0,36 × V(X) + 0,36 × V(Y)
V(Z) = 0,36 × V(X) + 0,36 × V(Y)
V(Z) = 0,36 × 3114 + 0,36 × 1686 = 1728

a. $E\left ( M_{n} \right )\, =\, E\left ( \frac{Z_{1}\, +\, Z_{2}\, +\, \cdots \, +\, Z_{n}}{n} \right )\, = \, E\left ( \frac{1}{n}\, \times \, \left ( Z_{1}\, +\, Z_{2}\, +\, \cdots \, +\, Z_{n} \right ) \right )$
L'espérance mathématique est linéaire donc :
$E\left ( M_{n} \right )\, =\, \frac{1}{n}\, \times \, E\left ( Z_{1}\, +\, Z_{2}\, +\, \cdots \, +\, Z_{n} \right )\, = \, \frac{1}{n} \, \times \, \left ( E\left ( Z_{1}\right ) \, +\, E\left ( Z_{2} \right )\, +\, \cdots \, +\, E\left ( Z_{n} \right )\right )$
Or pour tout entier i tel que 1 inférieur ou égal

n : Z_i suit la même loi que Z, donc : E(Z_i) = E(Z).
$E\left ( M_{n} \right )\, =\, \frac{1}{n}\, \times \, \left ( E\left ( Z \right )\, +\, E\left ( Z \right )\, +\, \cdots \, +\, E\left ( Z \right )\right )$
$E\left ( M_{n} \right )\, =\, \frac{1}{n}\, \times \, \left ( n\, \times \, E\left ( Z \right )\right )\, =\, \frac{1}{n}\, \times \, n\, \times \, 120\, =\, 120$
$V\left ( M_{n} \right )\, =\, V\left ( \frac{Z_{1}\, +\, Z_{2}\, +\, \cdots \, +\, Z_{n}}{n} \right )\, = \, V\left ( \frac{1}{n}\, \times \, \left ( Z_{1}\, +\, Z_{2}\, +\, \cdots \, +\, Z_{n} \right ) \right )$
Attention la variance n'est pas linéaire :
$V\left ( M_{n} \right )\, =\, \left ( \frac{1}{n} \right )^{2}\, \times \, V\left ( Z_{1}\, +\, Z_{2}\, +\, \cdots \, +\, Z_{n} \right )$
Enfin les variables Z₁, Z₂, …, Z_n sont indépendantes deux à deux, donc :
$V\left ( M_{n} \right )\, =\, \frac{1}{n^{2}}\, \times \, \left ( V\left ( Z_{1}\right ) \, +\, V\left ( Z_{2} \right )\, +\, \cdots \, +\, V\left ( Z_{n} \right )\right )$
Or pour tout entier i tel que 1 inférieur ou égal

n : Z_i suit la même loi que Z, donc : V(Z_i) = V(Z).
$V\left ( M_{n} \right )\, =\, \frac{1}{n^{2}}\, \times \, \left ( V\left ( Z\right ) \, +\, V\left ( Z \right )\, +\, \cdots \, +\, V\left ( Z \right )\right )$
$V\left ( M_{n} \right )\, =\, \frac{1}{n^{2}}\, \times \, \left ( n\, \times \, V\left ( Z \right )\right )\, =\, \frac{1}{n} \, \times \, V\left ( Z \right )\, =\, \frac{1}{n} \, \times \, 1\, 728\, =\, \frac{1\, 728}{n}$

b. On rappelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
Soit M_n une variable aléatoire discrète et δ un réel strictement positif.
$P\left ( \left\{ \left | M_{n}\, -\, E\left ( M_{n} \right )\right | \, \geq \, \delta \right\} \right )\, \leq \, \frac{V\left ( M_{n} \right )}{\delta ^{2}}$
$P\left ( \left\{ \left | M_{n}\, -\, 120\right | \, \geq \, \delta \right\} \right )\, \leq \, \frac{\frac{1\, 728}{n}}{\delta ^{2}}$
L'énoncé s'intéresse à la probabilité de l'événement {114 < M_n < 126} et on sait que E(M_n) = 120.
{114 < M_n < 126} = {E(M_n) − 6 < M_n < E(M_n) + 6} = {|M_n − 120| < 6}
On va donc utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour δ=6 :
$P\left ( \left\{ \left | M_{n}\, -\, 120\right | \, \geq \, 6 \right\} \right )\, \leq \, \frac{\frac{1\, 728}{n}}{6 ^{2}}$
$P\left ( \left\{ \left | M_{n}\, -\, 120\right | \, \geq \, 6 \right\} \right )\, \leq \, \frac{1\, 728}{36n}$
On utilise l'astuce de l'événement contraire : pour tout événement A, on a $P\left ( A \right )\, =\, 1\, -\, P\left ( \bar{A} \right )$ .
Et le contraire de {|M_n − 120| supérieur ou égal

6} est {|M_n − 120| < 6}.
Ainsi, on a :
$1\, -\, P\left ( \left\{ \left | M_{n}\, -\, 120\right | \, < \, 6 \right\} \right )\, \leq \, \frac{1\, 728}{36n}$
$1\, -\, \frac{1\, 728}{36n} \, \leq \, P\left ( \left\{ \left | M_{n}\, -\, 120\right | \, < \, 6 \right\} \right )$
$1\, -\, \frac{1\, 728}{36n} \, \leq \, P\left ( \left\{ 114\, < \, M_{n}\, < \, 126\right\} \right )$
$P\left ( \left\{ 114\, < \, M_{n}\, < \, 126\right\} \right ) \, \geq \, 1\, -\, \frac{1\, 728}{36n}$
Or, on cherche le plus petit entier n tel que P({114 < M_n < 126}) supérieur ou égal

0,85, il suffit donc de résoudre :
$1\, -\, \frac{1\, 728}{36n} \, \geq \, 0,85$
On soustrait les deux membres de l'inégalité par 1 ; le symbole ne change pas de sens :
$1\, -\, \frac{1\, 728}{36n}\, - \, 1\, \geq \, 0,85\, -\, 1$
$-\frac{1\, 728}{36n}\, \geq \, -0,15$
On multiplie les deux membres de l'inégalité par −1 ; le symbole change de sens :
$\frac{1\, 728}{36n}\, \leq \, 0,15$
On multiplie les deux membres de l'inégalité par 36n ; le symbole ne change pas de sens car 36n > 0 :
$\frac{1\, 728}{36n}\, \times \, 36n\, \leq \, 0,15\, \times \, 36n$
1728 inférieur ou égal

5,4n
5,4n

1728
On divise les deux membres de l'inégalité par 5,4 ; le symbole ne change pas de sens car 5,4 > 0 :
$\frac{5,4n}{5,4}\, \geq \, \frac{1\, 728}{5,4}$
n supérieur ou égal

320
Ainsi le plus petit entier recherché est 320.
Interprétation : Cela signifie qu'il suffit d'avoir au moins 320 familles à bord pour que la probabilité que le prix moyen soit compris entre 114 € et 126 € soit supérieure à 85 %.

Voir le corrigé

Corrigé

Partie A

a. $P\left ( C \right )\, =\, \frac{75}{100}\, =\, 0,75$ car 75 % des familles effectuant la traversée réservent une cabine.

Partie B

1. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :

Valeur x_i	x₁	x₂	…	x_n
Probabilité p_i = P(X =x_i)	p₁	p₂	…	p_n

5,4n
5,4n

1728
On divise les deux membres de l'inégalité par 5,4 ; le symbole ne change pas de sens car 5,4 > 0 :
$\frac{5,4n}{5,4}\, \geq \, \frac{1\, 728}{5,4}$
n supérieur ou égal