Équations différentielles, sujet 1. Sujet Bac S, Amérique du Sud, novembre 2007

Énoncé

On souhaite résoudre l'équation différentielle $\left ( E_{1} \right ):\: {y}'-\: 2y= \mathrm{sin}\: x\: +\: \mathrm{cos}\: x$ .

1. Résoudre l'équation différentielle $\left ( E_{0} \right ):\: {y}'-\: 2y= 0$ .

Soient a et b deux réels, et u la fonction définie sur Ensemble R

par u(x) = a sin x + b cos x. Déterminer a et b pour que u soit solution de l'équation (E₁).

a. Montrer que v est une solution de l'équation (E₀) si et seulement si u + v est solution de (E₁).

b. En déduire l'ensemble des solutions de (E₁).

3. Déterminer la solution de l'équation (E₁) qui s'annule en 0.

La bonne méthode

1. C'est une question de cours.

2. a. On utilise le fait que u est solution de l'équation différentielle.

2. b. La question est classique, on raisonne par équivalence.

2. c. L'équivalence précédente relie la question 2. et la question 1.

3. On connaît la forme des solutions, on trouve la valeur de la constante en appliquant la condition de l'énoncé.

Voir le corrigé

Corrigé

1. L'ensemble S₀ des solutions de l'équation (E₀) est l'ensemble des fonctions φ_k définies sur Ensemble R

par φ_k (x) = k e^2x, où k décrit Ensemble R

a. u est dérivable sur Ensemble R

, et pour tout $x\in \mathbb{R}$ , ${u}'(x)\: = a\: \mathrm{cos}\: x\: -\: b\: \mathrm{sin}\: x$ . La fonction u est solution de (E₁) si et seulement si pour tout $x\in \mathbb{R}$ , ${u}'(x)-\: 2u(x)= \mathrm{sin}\: x\: +\: \mathrm{cos}\: x$ , c'est-à-dire (−b − 2a) sin x + (a − 2b)cos x = sin x + cos x. En particulier, pour x = 0, ce qui donne a − 2b = 1 ; pour $x= \frac{\pi }{2}$ , ce qui donne −b − 2a = 1. Il suffit alors de résoudre le système $\left\{\begin{matrix}a\: -\: 2b\: = 1\\-b\: -\: 2a\: = 1\end{matrix}\right.$ . On obtient ainsi $a= -\frac{1}{5}$ et $b=-\frac{3}{5}$ .

b. La fonction u + v est solution de (E₁) si et seulement si pour tout $x\in \mathbb{R}$ , ${(u+v)}'(x)\: -\: 2(u+v)(x)= \mathrm{sin}\: x\: +\: \mathrm{cos}\: x$ , si et seulement si pour tout $x\in \mathbb{R}$ , ${v}'(x)+{u}'(x)-2v(x)-2u(x)= \mathrm{sin}\: x +\: \mathrm{cos}\: x$ , si et seulement si pour tout $x\in \mathbb{R}$ , $({v}'-2v)(x)= -({u}'-2u)(x)+\: \mathrm{sin}\: x+\: \mathrm{cos}\: x$ . Or u est solution de (E₁) donc ${u}'(x)\: -2u(x)\: = \mathrm{sin}\: x+\: \mathrm{cos}\: x$ . Par conséquent, u + v est solution de (E₁) si et seulement si pour tout $x\in \mathbb{R}$ , ({v}'-2v)(x)= 0

ce qui équivaut à v solution de (E₀).

c. Notons S₁ l'ensemble des solutions de (E₁). On vient de montrer que $f\in S_{1}$ si et seulement si $f\: -\: u\in S_{0}$ . Ainsi, $f\in S_{1}$ si et seulement si, il existe $k\in \mathbb{R}$ , tel que pour tout $x\in \mathbb{R}$ , $(f-u)(x)=k\: \mathrm{e}^{2x}\Leftrightarrow f(x)= k\: \mathrm{e}^{2x}-\frac{\mathrm{sin}\: x+\: 3\: \mathrm{cos}\: x}{5}$ .
On a donc $S_{1}= \left \{ x \mapsto k\: \mathrm{e}^{2x} -\frac{\mathrm{sin}\: x\: +\: 3\: \mathrm{cos}\: x}{5},\: k\: \in \: \mathbb{R} \right \}$ .

3. Parmi les fonctions de S₁, il en existe une seule, notons la g, qui s'annule en 0. On a $g(0)= k\: \mathrm{e}^{0}-\: \frac{\mathrm{sin}\: 0+\: 3\: \mathrm{cos}\: 0}{5}= k\: -\frac{3}{5}= 0\Leftrightarrow k= \frac{3}{5}$ . L'unique élément de S₁ cherché est donc la fonction g définie sur Ensemble R

par $g(x)= \frac{3\: \mathrm{e}^{2x}\: -\: \mathrm{sin}\: x\: -\: 3\: \mathrm{cos}\: x}{5}$ .