Opérations et arithmétique

1. Calculer avec des décimaux

• Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux, il faut :

aligner verticalement les virgules ;
disposer les chiffres de même rang les uns sous les autres ;
effectuer le calcul rang par rang de la droite vers la gauche sans oublier les retenues ;
vérifier la cohérence du résultat avec un ordre de grandeur.

• Pour multiplier deux nombres décimaux, il faut :

effectuer le calcul de la droite vers la gauche sans tenir compte des virgules, comme pour une multiplication avec des nombres entiers ;
placer la virgule dans le résultat pour qu'il ait le même nombre de chiffres après la virgule que la somme de ceux des deux facteurs du produit calculé ;
vérifier la cohérence du résultat avec un ordre de grandeur.

2. Ordre de grandeur

• Un ordre de grandeur d'un nombre est un nombre proche de celui-ci et facile à utiliser en calcul mental. Il n'est pas unique, on peut en donner plusieurs selon la précision recherchée.

3. Division euclidienne et méthodes de calculs

• Effectuer la division euclidienne entre deux nombres entiers, c'est trouver le quotient et le reste tels que : dividende = diviseur × quotient + reste avec reste < diviseur.

• Méthode 1 : Pour réaliser la division euclidienne entre deux nombres entiers, il faut que le diviseur soit toujours différent de zéro et réaliser le calcul de gauche à droite. La division se termine lorsque tous les chiffres du dividende ont été « descendus » et le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur.

• Méthode 2 : Pour réaliser la division décimale entre deux nombres, il faut que le diviseur soit toujours différent de zéro et réaliser le calcul de gauche à droite. Il faut placer la virgule au quotient lorsqu'on abaisse le chiffre des dixièmes. La division décimale se termine lorsque le reste est égal à 0.

4. Divisibilité

• Lorsque la division euclidienne de a par b donne un reste égal à zéro, on dit que b est un diviseur de a.
On dit aussi que a est un multiple de b. Dans ce cas, il existe un nombre entier positif k tel que a = k × b.

• Cas particuliers :

Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres entiers.
Le nombre 0 ne divise aucun nombre.
Tout nombre entier non nul est un diviseur de 0 et de lui-même.

• Un nombre entier est divisible :

par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
par 3 (ou 9) lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou 9).

Exercice n°1

Pose les divisions euclidiennes suivantes puis complète les égalités associées.

Écris les réponses dans les zones colorées.

A. 547 ÷ 5 ; on obtient l'égalité : 547 = 5 × +

B. 1 503 ÷ 9 ; on obtient l'égalité : 1 503 = 9 × +

C. 5 049 ÷ 8 ; on obtient l'égalité : 5 049 = 8 × +

D. 21 840 ÷ 11 ; on obtient l'égalité : 21 840 = 11 × +

Exercice n°2

Donne un ordre de grandeur, puis la valeur exacte, du résultat de chacun des calculs suivants.

Écris les réponses dans les zones colorées.

A. = 357 + 82,6 $\approx$ =
B. = 10,2 −7,54 $\approx$ =
C. = 32,094 + 7,1 $\approx$ =
D. = 4,3 × 2,89 $\approx$ =
E. = 9,44 ÷ 4 $\approx$ =
F. = 10,7 × 8,5 $\approx$ =

Exercice n°3

Complète les phrases suivantes avec le résultat obtenu en effectuant des divisions décimales.

Écris les réponses dans les zones colorées.

A. Marc achète 4 mangas coutant tous le même prix et paie 47,96 euros.
Alors le prix d'un manga acheté par Marc est de euros.

B. Un couple a parcouru 619 km à vélo pendant ses 5 jours de vacances.
S'ils ont fait autant de km chaque jour, ils ont donc parcouru km par jour.

C. Valentine a payé 8,10 euros pour acheter 3 plaquettes de beurre identiques.
Le prix d'une plaquette de beurre est donc de euros.

Exercice n°4

Marie achète deux plantes pour sa maison : une orchidée à 19,54 euros et un hortensia qui coûte 9,65 euros de plus que l'orchidée.

Écris la réponse dans la zone colorée.

Le montant total de ses achats a comme ordre de grandeur : euros et sa valeur exacte est de 48,73 euros.