Sujet 0, épreuve commune, exercice 2, 2026

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Exercice

Définition 1

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

Partie A

On considère la fonction P définie sur l'intervalle [− 5 ; 3] par : P(x) = 2x² + x − 10.

1. a. Déterminer les racines de P.

b. En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation y = P(x).

2. Établir le tableau de signe de la fonction P sur l'intervalle [−5 ; 3].

Partie B

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [− 5 ; 3] dont on donne ci-dessous la courbe représentative C_f.

La tangente T à la courbe C_f au point A d'abscisse 2 est horizontale.

1. Donner la valeur du nombre dérivé f'(2).

2. Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation f'(x) < 0.

3. On sait que la fonction f a pour expression sur l'intervalle [− 5 ; 3] :
f(x) = (4x² − 14x + 8)e^0,5x.
Démontrer que, pour tout x appartenant à l'intervalle [− 5 ; 3], on a :
f'(x) = P(x)e^0,5x.

4. En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [− 5 ; 3]. (Il n'est pas demandé de calculer les images).

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Corrigé

Partie 1

2. a. Comme P(x) = 2x² + x − 10 est un polynôme du second degré, on calcule le discriminant : Δ = b² − 4ac = 1² − 4 × 2 × (−10) = 1 + 80 = 81 = 9².
Les racines de P sont : $\mathit{x}_{1}\, =\, \frac{-\, \mathit{b}\, -\, \sqrt{\Delta }}{2\mathit{a}}\, =\, \frac{-\, 1\, -\, 9}{4}\, =\, -\, \frac{5}{2}$ et $\mathit{x}_{2}\, =\, \frac{-\, \mathit{b}\, +\, \sqrt{\Delta }}{2\mathit{a}}\, =\, \frac{-\, 1\, +\, 9}{4}\, =\, 2$ .

b. L'axe de symétrie de la parabole est une droite verticale dont l'abscisse correspond au milieu des deux racines du polynôme, soit $\frac{\mathit{x}_{1}\, +\, \mathit{x}_{2}}{2}\, =\, \frac{-\, \frac{5}{2}\, +\, 2}{2}\, =\, \frac{-\, \frac{1}{2}}{2}\, =\, -\, \frac{1}{4}$ .
L'axe de symétrie de la parabole d'équation y = P(x) est donc la droite verticale d'équation $\mathit{x}\, =\, -\, \frac{1}{4}$ .

2. On a : $\mathit{P}(\mathit{x})\, =\, \mathit{a}(\mathit{x}\, -\, \mathit{x}_{1})(\mathit{x}\, -\, \mathit{x}_{2})\, =\, 2\left ( \mathit{x}\, -\, \frac{5}{2} \right )(\mathit{x}\, -\, 2)\, =\, 2\left ( \mathit{x}+\frac{5}{2} \right )(\mathit{x}\, -\, 2)$ .
On établit le tableau de signes de la fonction P sur l'intervalle [− 5 ; 3].

Partie 2

1. Comme f'(2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C_f au point de la courbe d'abscisse 2 ; c'est le coefficient directeur de la droite T qui est horizontale.
On en déduit que f'(2) = 0.

2. Les solutions de l'inéquation f'(x) < 0 sont les valeurs de x pour lesquelles la fonction f est strictement décroissante, soit l'intervalle ]− 2,5 ; 2[ d'après le graphique.

3. D'après la formule de dérivation d'un produit, on a :
f'(x) = (4 × 2x − 14) × e^0,5x + (4x² −14x + 8) × 0,5e^0,5x ;
soit f'(x) = (8x − 14 + (4x² − 14x + 8) × 0,5)e^0,5x = (2x² + x − 10)e^0,5x = P(x)e^0,5x.

4. D'après la partie A, on connaît le signe de P(x). De plus, on sait que e^5x > 0 pour tout réel x. On peut donc établir le tableau de signe de f'(x), puis le tableau de variations de f.