Sujet 0, épreuve commune, exercice 1, 2026

Exercice

Aide au calcul :
10 000 − 3 750 = 6 250
1,08×4 050 = 4 374
$\frac{4\, 050}{1,08}\, =\, 3\, 750$
3 750×1,08 = 4 050

En 2020, une ville comptait 10 000 habitants.
On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite (u_n) définie ainsi :
$\left\{\begin{matrix}u_{n+1}\, =\, 1,08u_{n}\, -\, 300,\, \textit{avec}\, n\, \in \, N \\u_{0}\, =\, 10\, 000\end{matrix}\right.$
où u_n représente le nombre d'habitants pour l'année 2020+n.

1. Indiquer ce que représente u₁ et calculer sa valeur.

On considère la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par v_n= u_n − 3 750.

a. Déterminer v₀.

b. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a v_n+1= 1,08v_n.

c. En déduire la nature de la suite (v_n).

d. Pour tout entier naturel n, exprimer v_n en fonction de n.

e. En déduire que pour tout entier naturel n, on a u_n= 6 250×1,08ⁿ + 3 750.

Le tableau ci-contre, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenue par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule B2 :
= 6250*1,08^ A2 + 3750

La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra 19 000 habitants.
La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.

Voir le corrigé

Corrigé

1. u₁ représente le nombre d'habitants pour l'année 2020+1 soit en 2021.
u₁= 1,08u₀−300 = 1,08×10 000 − 300 = 10 800 − 300 = 10 500.

a. v₀ = u₀-3 750 = 10 000 − 3 750 = 6 250.

b. Pour tout entier naturel n, on a v_n = u_n − 3 750 donc u_n = v_n + 3 750.
Ainsi, v_n+1 = u_n+1 − 3 750 = 1,08u_n − 300 − 3 750 = 1,08(v_n + 3750) − 300 − 3 750 =
1,08v_n + 4 050 − 4 050 = 1,08v_n.

c. Ainsi, la suite (v_n) est géométrique de raison q = 1,08 et de premier terme v₀= 6 250.

d. On en déduit que, pour tout entier naturel n, on a v_n = v₀×qⁿ = 6 250×1,08ⁿ.

e. Comme, pour tout entier naturel n, on a v_n = 6 250×1,08ⁿ et u_n = v_n + 3 750 on peut alors en déduire que u_n = 6 250×1,08ⁿ + 3 750.

3. D'après la feuille de tableur, on observe que la population dépasse 19 000 habitants pour n = 12 soit en 2032.
La construction d'un tel établissement nécessite deux ans ; il faut donc commencer les travaux en 2030.