Trigonométrie

Dans un triangle, les angles géométriques sont saillants. Leur mesure varie de 0 à 180°. Pour un cercle, les angles au centre rentrants peuvent mesurer jusqu'à 360°.
Les angles orientés ont des mesures réelles, éventuellement négatives ou supérieures à 360°. Au degré, on préfère alors le radian.
Le sinus et le cosinus d'un angle orienté se définissent à partir du cercle trigonométrique, centré sur l'origine d'un repère orthonormal, de rayon 1 et parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

1. Quel est l'intérêt d'une mesure d'angle en radian ?

Définition : Le radian est la mesure d'un angle au centre qui découpe, sur le cercle, un arc dont la longueur est égale au rayon.

Conversion : Le périmètre d'un cercle de rayon r est égal à 2π r. Donc 2π radians équivalent à 360°. Soit 1 radian = $\frac{360°}{2\pi}$ ou 1 radian $\approx$ 57,30°.
On retiendra : π radians = 180°, ou plus simplement π = 180°.
Mesure d'un arc : La mesure d'un arc est la mesure de l'angle au centre qui intercepte cet arc.
Longueur d'un arc : Un angle de α radians intercepte un arc de longueur l = r × α.
Une mesure en degrés nécessiterait le calcul préalable du périmètre du cercle et aboutirait à une formule plus compliquée : $l\,=\,2\pi{r}\,\times\,\frac{\alpha}{360}\,=\,\frac{\pi{r}\alpha}{180}$
Exercice n°1 Exercice n°2

2. Qu'est-ce qu'un angle orienté ?

Orientation du plan : Le plan est orienté dans le sens positif lorsque tous les cercles de ce plan sont parcourus dans le sens positif, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Cercle trigonométrique : Dans un repère orthonormé, c'est le cercle
- de rayon 1,
- centré sur l'origine,
- parcouru dans le sens positif.
Définition : Si A et M sont deux points d'un cercle trigonométrique de centre O, l'angle formé par les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OM}$ est l'angle orienté ( $\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM}$ ).
Un repère orthonormé (O ; I ; J) est direct lorsque $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OJ})\,=\,\frac{\pi}{2}$ .
Mesure d'un angle orienté : Si α est la mesure d'un angle orienté alors tout autre mesure de la forme $y\,=\,\alpha\,+\,2k\pi\,(k\,\in\,Z)$ convient. Plus directement on note $(\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,\alpha[2\pi]$ (la mesure de l'angle ( $\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM}$ ) est égale à α à 2π près).

Exercice n°3 Exercice n°4

3. Comment déterminer la mesure principale d'un angle orienté ?

Définition : Un angle orienté possède une infinité de mesures. En ajoutant ou en retranchant 2π à une mesure donnée on obtient une autre mesure possible.
La mesure principale α vérifie $-\pi\,<\,\alpha\,\le\,\pi$ .
Méthode : On décompose la mesure donnée pour faire apparaître une somme dont l'un des termes est multiple de 2π.
Exemple : Pour un angle mesurant $\frac{27\pi}{4}$ radians on écrit :
$\frac{27\pi}{4}\,=\,\frac{24\pi}{4}\,+\,\frac{3\pi}{4}\,=\,6\pi\,+\,\frac{3\pi}{4}\,=\,3\,\times\,2\pi\,+\,\frac{3\pi}{4}$ .
Comme $-\pi\,<\,\frac{3\pi}{4}\,\le\,\pi$ , c'est la mesure principale de l'angle de $\frac{27\pi}{4}$ radians.
Exercice n°5 Exercice n°6

4. Quelles sont les propriétés des angles orientés ?

Transformations d'écritures : Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls du plan alors :
$(-\vec{u}\,;\, \vec{u})\,=\,(\vec{u}\,;\, -\vec{u})\,=\,\pi$ [2π],
$(\vec{v}\,;\, \vec{u})\,=\,-(\vec{u}\,;\,\vec{v})$ [2π],
$(-\vec{u}\,;\, -\vec{v})\,=\,(\vec{u}\,;\,\vec{v})$ [2π],
$(-\vec{u}\,;\, \vec{v})\,=\,(\vec{u}\,;\, -\vec{v})\,=\pi\,+\,(\vec{u}\,;\, \vec{v})$ [2π] ou $(-\vec{u}\,;\, \vec{v})\,=\,(\vec{u}\,;\, -\vec{v})\,=\,-\pi\,+\,(\vec{u}\,;\, \vec{v})$ [2π].

Relation de Chasles : Si $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont trois vecteurs non nuls du plan alors : $(\vec{u}\,;\, \vec{v})\,+\,(\vec{v}\,;\, \vec{w})\,=\,(\vec{u}\,;\, \vec{w})$ [2π].

Exercice n°7 Exercice n°8

5. Qu'est-ce qu'un repérage polaire ?

Définition : dans un repère du plan, défini par un point origine et deux vecteurs non nuls et non colinéaires, tout point M est repéré par deux coordonnées cartésiennes, son abscisse et son ordonnée.
On peut aussi repérer le point M à l'aide d'une origine O et d'une demi-droite [Ox) de repère unitaire $\overrightarrow{OI}$ , le plan étant orienté dans le sens positif. Le premier paramètre est la longueur OM (le rayon) et le second la mesure principale α de l'angle orienté $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})$ (l'azimut).
Soit M(OM ; α ).

Exercice n°9 Exercice n°10

6. Comment déterminer le cosinus et le sinus d'un angle orienté ?

(O ; I ; J) est un repère orthonormé du plan.

M est un point du cercle trigonométrique et $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,\alpha$ .
Pour $0\,\le\,\alpha\,\le\,\frac{\pi}{2}$ , on a : $\cos\,\alpha\,=\,\frac{OH}{OM}\,=\,\frac{OH}{1}\,=\,OH$ et $\sin\,\alpha\,=\,OK\,=\,\frac{HM}{OM}\,=\,\frac{HM}{1}\,=\,HM\,=\,OK$ .
Plus généralement le point M pour coordonnées $M(\cos\,\alpha\,;\,\sin\,\alpha)$ .
Le cosinus de l'angle $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})$ est l'abscisse du point M. Le sinus est son ordonnée.
Exercice n°11 Exercice n°12

7. Quels sont les cosinus et sinus des angles associés ?

Soit M un point du cercle trigonométrique de repère orthonormé direct (O ; I ; J).
On pose $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,x$ .

Angles opposés : soit M₁ le point du cercle trigonométrique tel que $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{1})\,=\,-x$ .
Les points M et M₁ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Donc : $\cos(-x)\,=\,\cos{x}$ et $\sin(-x)\,=\,-\sin\,x$ .
Angles supplémentaires : soit M₂ le point du cercle trigonométrique tel que $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{2'})\,=\,\pi\,-x$ .
Les points M et M₂ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Donc : $\cos(\pi\,-x)\,=\,-\,\cos{x}$ et $\sin(\pi\,-x)\,=\,\sin\,x$ .
Angles complémentaires : soit M₃ le point du cercle trigonométrique tel que $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{3})\,=\,\frac{\pi}{2}\,-x$ .
Les points M et M₃ sont symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OJ})$ . Donc : $\cos\left(\frac{\pi}{2}\,-\,x\right)\,=\,\sin\,x$ et $\sin\left(\frac{\pi}{2}\,-\,x\right)\,=\,\cos\,x$ .
Angles ayant un écart de $\frac{\pi}{2}$ : soit M₄ le point du cercle trigonométrique tel que $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{4})\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,x$ . Le point M₄ est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{2}$ . Donc : $\cos\left(\frac{\pi}{2}\,+\,x\right)\,= -\,\sin\,x$ (attention au signe « − ») et $\sin\left(\frac{\pi}{2}\,+\,x\right)\,=\,\cos\,x$ .
Angles ayant un écart de π : soit M₅ le point du cercle trigonométrique tel que $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{5})\,=\,\pi\,+\,x$ . Les points M et M₅ sont symétriques par rapport à O. Donc : $\cos(\pi\,+\,x)\,=\,-\cos\,x$ et $\sin(\pi\,+\,x)\,=\,-\sin{x}$ .

Exercice n°13 Exercice n°14

8. Quelles sont les solutions des équations trigonométriques $\cos\,\,x\,=\,a$ ou x = b ?

Égalité de deux cosinus : soient deux points M et M' du cercle trigonométrique d'un repère orthonormé (O ; I ; J) du plan. Les cosinus des angles $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})$ et $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM'})$ sont égaux si et seulement si les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Donc $\cos\,\alpha'\,=\,\cos\,\alpha$ équivaut à $\alpha'\,=\,\alpha\,+\,2\,k\,\pi$ ou $\alpha'\,=\,-\,\alpha\,+\,2\,k\,\pi$ ( $k\,\in\,Z$ ).

Deux angles orientés ont le même cosinus si et seulement si leurs mesures principales sont égales ou opposées.
Égalité de deux sinus : Les sinus des angles $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})$ et $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}')$ sont égaux si et seulement si les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Donc $\sin\,\alpha'\,=\,\sin\,\alpha$ équivaut à $\alpha'\,=\,\alpha\,+\,2k\pi$ ou $\alpha'\,=\,\pi\,-\,\alpha\,+\,2k\pi$ ( $k\,\in\,Z$ ).

Deux angles orientés ont le même sinus si et seulement si leurs mesures principales sont égales ou supplémentaires.

Exercice n°15 Exercice n°16

Une interview à lire

Mécanique céleste, dans le système solaire et au-delà

Cette scientifique explique dans cet article l'étude du système solaire, notamment celle du mouvement des planètes à l'aide d'équations nécessitant notamment d'utiliser les coordonnées polaires, les angles en radian et donc la trigonométrie.

À retenir

Formule de conversion : π radians = 180°
Longueur de l'arc de cercle intercepté par un angle au centre de α radians sur un cercle de rayon r : l = r × α.
Cercle trigonométrique : Dans un repère orthonormé, c'est le cercle de rayon 1, centré sur l'origine et parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Notation d'un angle orienté : $(\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM})\equiv\,\alpha\,[2\pi]$ (La mesure de l'angle $(\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM})$ est égale à α à 2π près).

Mesure principale α d'un angle orienté : $-\pi\,<\,\alpha\,\le\,\pi$ .
Repérage d'un point M en coordonnées polaires, dans un repère composé d'une origine O et d'une demi-droite [Ox) de repère unitaire $(\overrightarrow{OI})$ :
M(OM ; α), avec α mesure principale de l'angle orienté $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})$ .

Relation de Chasles : $(\vec{u}\,;\,\vec{v})\,+\,(\vec{v}\,;\,\vec{w})\,=\,(\vec{u}\,;\,\vec{w})$ [2π].
Formules des angles associés :
$\cos(-x)\,=\,\cos\,x$ et $\sin(-x)\,=\,-\,\sin\,x$ ;
$\cos(\pi\,-\,x)\,=\,-\,\cos\,x$ et $\sin(\pi\,-\,x)\,=\,\sin\,x$ ;
$\cos(\frac{\pi}{2}\,-\,x)\,=\,\sin\,x$ et $\sin(\frac{\pi}{2}\,-\,x)\,=\,\cos\,x$ ;
$\cos(\frac{\pi}{2}\,+\,x)\,=\,-\,\sin\,x$ et $\sin(\frac{\pi}{2}\,+\,x)\,=\,\cos\,x$ ;
$\cos(\pi +\,x)\,=\,-\,\cos\,x$ et $\sin(\pi+\,x)\,=\,-\sin\,x$ ;
Équations trigonométriques :
$\cos\,\alpha'\,=\,\cos\,\alpha$ équivaut à $\alpha'\,=\,\alpha\,+\,2k\pi$ ou $\alpha'\,=\,-\alpha\,+\,2k\pi$ ( $k\,\in\,Z$ ) ;
$\sin\,\alpha'\,=\,\sin\,\alpha$ équivaut à $\alpha'\,=\,\alpha\,+\,2k\pi$ ou $\alpha'\,=\,\pi\,-\alpha\,+\,2k\pi$ ( $k\,\in\,Z$ ) .

Exercice n°1

Quelle est l'égalité fausse ?

Cochez la bonne réponse.

$\frac{\pi}{3}\,=\,60°$

ok	$\frac{5\pi}{4}\,=\,125°$

$\frac{5\pi}{6}\,=\,150°$

$\frac{5\pi}{4}\,=\,5\,\times\,\frac{\pi}{4}\,=\,5\,\times\,\frac{180}{4}\,=\,5\,\times\,45\,=\,225°$ .

Exercice n°2

Par rapport à un point O et une demi droite [Ox) de vecteur unitaire $\overrightarrow{OI}$ , on a M(2 ; $-\frac{5\pi}{6})$ . Quelles sont les coordonnées cartésiennes du point M dans le repère orthonormé direct (O ; I ; J) ?

Cochez la bonne réponse.

M( $-\frac{4\sqrt{2}}{3}$ ; −1)

ok	M( $-\sqrt{3}$ ; −1)

M(−0,8 ; −0,95)

$OH\,=\,2\,\times\,\cos\,\frac{\pi}{6}\,=\,2\,\times\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,=\,\sqrt{3}$ et $HM\,=\,2\,\times\,\sin\,\frac{\pi}{6}\,=\,2\,\times\,\frac{1}{2}\,=\,1$ .
Soit M( $-\sqrt{3}$ ; −1).

Exercice n°3

Quel est l'encadrement de la mesure principale α d'un angle orienté tel que $\left \lbrace \begin {array} {lll} \cos\,\alpha\,\le\,0 \\ \sin\,\alpha\,\ge\,0\end {array} \right.$ ?

Cochez la bonne réponse.

ok	$\frac{\pi}{2}\,\le\,\alpha\,\le\,\pi$

$-\frac{\pi}{2}\,\le\,\alpha\,\le\,0$

$-\pi\,\le\,\alpha\,\le\,-\frac{\pi}{2}$

Si M est le point du cercle trigonométrique tel que $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,\alpha$ alors $-1\,\le\,x_{M}\,\le\,0$ et $0\,\le\,y_{M}\,\le\,1$ .
En observant le cercle trigonométrique on en déduit que $\frac{\pi}{2}\,\le\,\alpha\,\le\,\pi$ .

Exercice n°4

Quelle est l'égalité fausse ?

Cochez la bonne réponse.

$\sin\,\frac{9\pi}{4}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

ok	$\sin\,\frac{7\pi}{2}\,=\,1$

$\cos(-\frac{19\pi}{3})\,=\,\frac{1}{2}$

$\sin\,\frac{7\,\pi}{2}\,=\,\sin\,\frac{8\pi\,-\,\pi}{2}\,=\,\sin(2\,\times\,2\pi\,-\,\frac{\pi}{2})\,=\,\sin(-\frac{\pi}{2})\,=\,-1$

Exercice n°5

Quelle est l'égalité fausse ?

Cochez la bonne réponse.

$\cos(-x)\,+\,\cos(\pi\,-\,x)\,=\,0$

$\cos(-\pi\,-\,x)\,+\,\cos(-\pi\,+\,x)\,=\,-2\cos{x}$

ok	$\sin(-\pi\,-x)\,+\,\sin(-\pi\,+\,x)\,=\,2\sin\,x$

$\sin(-\pi-x)\,+\,\sin\,(-\pi\,+\,x)\,=\,-\sin(\pi\,+\,x)\,-\,\sin(\pi\,-\,x)\,=\,\sin\,x\,-\,\sin\,x\,=\,0$
Par ailleurs :
$\cos(-x)\,+\,\cos(\pi\,-\,x)\,=\,\cos\,x\,-\,\cos\,x\,,=\,0$ ;
$\cos(-\pi\,-\,x)\,+\,\cos(-\pi\,+\,x)\,=\cos(\pi\,+\,x)\,+\cos(\pi\,-\,x)\,=\,-\cos{x}\,-\,\cos{x}\,=\,-2\cos{x}$ .

Exercice n°6

Quelle est l'égalité fausse ?

Cochez la bonne réponse.

$\sin(-x)\,+\,\cos\,\left(\frac{\pi}{2}\,-\,x\right)\,=\,0$

ok	$\cos\left(-\frac{\pi}{2}\,-\,x\right)\,+\,\cos\,\left(-x\,+\,\frac{\pi}{2}\right)\,=\,2\sin\,x$

$\sin\,\left(-\frac{\pi}{2}\,-\,x\right)\,+\,\sin\,\left(-x\,+\,\frac{\pi}{2}\right)\,=\,-2\cos\,x$

$\cos\left(\frac{\pi}{2}\,-\,x\right)\,+\,\cos\,\left(-x\,+\,\frac{\pi}{2}\right)\,=\,\cos\left(\frac{\pi}{2}\,+\,x\right)\,+\,\cos\left(\frac{\pi}{2}\,-\,x\right)\,=\,-\,\sin\,x\,+\,\sin\,x\,=\,0$ .
Par ailleurs :
$\sin\,(-x)\,+\,\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\,=\,-\sin\,x\,+\,\sin\,x\,=\,0$ ;
$\sin\,\left(-\frac{\pi}{2}\,-\,x\right)\,+\,\sin\,\left(-x\,+\,\frac{\pi}{2}\right)\,=\,-\,\cos{x}\,-\,\cos{x}\,=\,-2\cos{x}$

Exercice n°7

Quelle est le nombre de solutions de l'équation $\cos\,x\,=\,\frac{1}{2}$ sur l'intervalle [− π ; 2π] ?

Cochez la bonne réponse.

On sait que $\cos\,\frac{\pi}{3}\,=\,\frac{1}{2}$ . On doit donc résoudre l'équation équivalente $\cos\,x\,=\,\frac{\pi}{x}$ .
Soit $x\,=\,\frac{\pi}{3}\,+\,2k\pi$ ou $x\,=\,-\,\frac{\pi}{2}\,+\,2k\pi$ ( $k\,\in\,Z$ ).
Pour k = 0, les solutions sont $-\frac{\pi}{3}$ ou $\frac{\pi}{3}$ .
Pour k\,=\,1, on obtient par la seconde égalité : $x\,=\,-\frac{\pi}{3}\,+\,2\pi\,=\,\frac{5\pi}{3}$ .
Il y a donc trois solutions sur l'intervalle [− π ; 2π] .

Exercice n°8

Quelle est le nombre de solutions de l'équation $\sin{x}\,=\,\frac{1}{2}$ sur l'intervalle [− π ; 2π] ?

Cochez la bonne réponse.

On sait que $\sin\,\frac{\pi}{6}\,=\,\frac{1}{2}$ . On doit donc résoudre l'équation équivalente $\sin\,x\,=\,\sin\,\frac{\pi}{6}$
Soit $x\,=\,\frac{\pi}{6}\,+\,2k\pi$ ou $x\,=\,{\pi},-\,\frac{\pi}{6}\,+\,2k\pi\,=\,\frac{5\pi}{6}\,+\,2k\pi$ ( $k\,\in\,Z$ ).
Pour k = 0, les solutions sont $\frac{\pi}{6}$ ou $\frac{5\pi}{6}$ .
Il y a donc deux solutions sur l'intervalle [− π ; 2π] .

Exercice n°9

Sur un cercle de rayon 5, quelle est la longueur de l'arc intercepté par un angle au centre de 2 radians ?

Cochez la bonne réponse.

2,5π

Un angle au centre de 1 radian intercepte un arc de longueur égale au rayon.
Donc $l\,=\,5\,\times\,2\,=\,10$ .

Exercice n°10

Sur le cercle ci-dessus, quelle est la position du point M tel que $(\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,\frac{17{\pi}}{4}$ ?

Cochez la bonne réponse.

$\frac{17\pi}{4}\,=\,\frac{16\pi}{4}\,=\,\frac{\pi}{4}\,=\,4\pi\,+\,\frac{\pi}{4}\,=\,2\,\times\,2\pi\,+\,\frac{\pi}{4}$ .
Pour aller du point A au point M, il faut effectuer deux tours et avancer ensuite de 45° dans le sens positif, c'est à dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Exercice n°11

M est le point indiqué sur le cercle trigonométrique ci-dessus.
Quelle mesure ne convient pas pour l'angle $(\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM})$ ?

Cochez la bonne réponse.

ok	$-\frac{7\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{3}$

$\frac{5\pi}{3}$

En tournant dans le sens négatif, $(\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,-\,60°\,=\,-\frac{180°}{3}\,=\,-\frac{\pi}{3}$ .
Dans le sens positif, $(\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,\frac{\pi}{3}\,+\,2\pi\,=\,\frac{5\pi}{3}$ .
Les deux dernières sont correctes.
$-\frac{7\pi}{3}\,=\,-\,\frac{6\pi}{3}\,-\,\frac{\pi}{3}\,=\,-\,2\pi\,-\,\frac{\pi}{3}$ . À partir du point A, il faut donc effectuer un tour puis tourner de 60° dans le sens négatif.
On obtient un point symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.
La première réponse est donc fausse.

Exercice n°12

Quelle est la mesure principale d'un angle de $-\frac{15\pi}{4}$ radians ?

Cochez la bonne réponse.

$-\frac{\pi}{4}$

ok	$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2}$

$-\frac{15\pi}{4}\,=\,-\,\frac{16\pi}{4}\,+\,\frac{\pi}{4}\,=\,-\,4\pi\,+\,\frac{\pi}{4}\,=\,-\,2\,\times\,2\pi\,+\,\frac{\pi}{4}$ et $-\pi\,<\,\frac{\pi}{4}\,\le\,\pi$ .

Exercice n°13

Quels sont les angles qui n'ont pas la même mesure principale ?

Cochez la bonne réponse.

$-\frac{18\pi}{5}$ et $\frac{22\pi}{5}$

ok	$\frac{18\pi}{5}$ et $\frac{22\pi}{5}$

$-\frac{18\pi}{5}$ et $-\frac{22\pi}{5}$

$\frac{22\pi}{5}\,-\,\frac{18\pi}{5}\,=\,\frac{4\pi}{5}$ . L'écart entre les deux mesures n'est pas un multiple de 2π. Les deux angles n'ont donc pas la même mesure principale.

Exercice n°14

Soient les vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ tels que $(\vec{u}\,;\,\vec{v})\,=\,\frac{\pi}{4}$ [2π] et $(\vec{u}\,;\,\vec{w})\,=\,\frac{\pi}{3}$ [2π].
Quelle est l'égalité fausse ?

Cochez la bonne réponse.

( $\vec{v}\,;\,-\vec{u}\,=\,\frac{3\pi}{4}$ ) [2π]

ok	( $\vec{v}\,;\,\vec{w}\,=\,\frac{7\pi}{12}$ ) [2π]

( $-\vec{w}\,;\,-\vec{u}\,=\,-\frac{\pi}{3}$ ) [2π]

Par la relation de Chasles : $(\vec{u}\,;\,\vec{v})\,+\,(\vec{v}\,;\,\vec{w})\,=\,(\vec{u}\,;\,\vec{w})$ [2π].
Donc $(\vec{v}\,;\,\vec{w})\,=\,(\vec{u}\,;\,\vec{w})\,-\,(\vec{u}\,;\,\vec{v})$ [2π].
Soit $(\vec{v}\,;\,\vec{w})\,=\,\frac{\pi}{3}\,-\,\frac{\pi}{4}\,=\,\frac{\pi}{12}$ .
Par ailleurs : $(\vec{v}\,;\,-\vec{u})\,=\,(\vec{v}\,;\,\vec{u})\,+\,(\vec{u}\,;\,-\vec{u})\,=\,-\,(\vec{u}\,;\,\vec{v})\,+\,\pi\,=\frac{\pi}{4}\,+\,\pi\,=\,\frac{3\pi}{4}$ [2π] ;
$(-\vec{w}\,;\,-\vec{u})\,=\,(\vec{w}\,;\,\vec{u})\,=\,-\,(\vec{u}\,;\,-\vec{w})\,=\,-\,\frac{\pi}{3}$ .

Exercice n°15

ABC est un triangle rectangle en A.
À 2π près, quelle est la valeur de la somme $S\,=\,(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC})\,+\,(\overrightarrow{BC}\,;\,\overrightarrow{BA})\,+\,(\overrightarrow{CA}\,;\,\overrightarrow{CB})$ ?

Cochez la bonne réponse.

S = 0

S = $\frac{\pi}{2}$

S = π

Par la relation de Chasles on obtient :
$S\,=\,(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC})\,+\,(-\overrightarrow{AC}\,;\,-\overrightarrow{BC})\,+\,(\overrightarrow{BC}\,;\,\overrightarrow{BA})\,=\,(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC})\,+\,(\overrightarrow{AC}\,;\,\overrightarrow{BC})\,+\,(\overrightarrow{BC}\,;\,\overrightarrow{BA})\,=\,(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{BA})$ .
Donc $S\,=\,(\overrightarrow{AB}\,;\,-\overrightarrow{AB})\,=\,\pi$ [2π].

Exercice n°16

Soit M(4 ; 3) dans un repère orthonormé (O ; I ; J). En arrondissant l'azimut au centième de radian près, quelles sont les coordonnées polaires du point M par rapport au point O et la demi-droite [OI) de vecteur unitaire $\overrightarrow{OI}$ ?

Cochez la bonne réponse.

M(7 ; 0,72)

ok	M(5 ; 0,64)

M(5 ; 0,85)

Rayon : $OM\,=\,\sqrt{4^{2}\,+\,3^{2}}\,=\,\sqrt{16\,+\,9}\,=\,\sqrt{25}\,=\,5$ .
Azimut : $\tan\,\alpha\,=\,\frac{3}{4}$ , soit $\tan^{-1}(\frac{3}{4})\,=\,0,643\,\ldots$ ou $\alpha\,\approx\,0,64$ (au centième de radian près).

Trigonométrie

1. Quel est l'intérêt d'une mesure d'angle en radian ?

2. Qu'est-ce qu'un angle orienté ?

3. Comment déterminer la mesure principale d'un angle orienté ?

4. Quelles sont les propriétés des angles orientés ?

5. Qu'est-ce qu'un repérage polaire ?

6. Comment déterminer le cosinus et le sinus d'un angle orienté ?

7. Quels sont les cosinus et sinus des angles associés ?

8. Quelles sont les solutions des équations trigonométriques ou x = b ?

Une interview à lire

À retenir

8. Quelles sont les solutions des équations trigonométriques $\cos\,\,x\,=\,a$ ou x = b ?