Calcul vectoriel

L'essentiel du cours

La somme de deux vecteurs est un vecteur que l'on peut construire de deux façons :
– avec la relation de Chasles en partant d'un point $A\, :\, \overrightarrow{u}\, +\, \overrightarrow{v}\, =\, \overrightarrow{AB}\, +\, \overrightarrow{BC}\, =\, \overrightarrow{AC}$ ;

– avec la règle du parallélogramme : $\overrightarrow{u}\, +\, \overrightarrow{v}\, =\, \overrightarrow{AB}\, +\, \overrightarrow{AC}\, =\, \overrightarrow{AD}$ .

Remarque

La relation de Chasles sert aussi à décomposer un vecteur en une somme de vecteurs.
Si A et B sont deux points donnés, alors, pour tout point C, on a : $\overrightarrow{AB}\, =\, \overrightarrow{AC}\, =\, \overrightarrow{CB}$ .
On définit la multiplication d'un vecteur par un réel de la manière suivante. Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul et k un nombre réel non nul, le vecteur $\overrightarrow{v}\, =\, \overrightarrow{ku}$ est défini ainsi :
– $\overrightarrow{v}$ a la même direction que $\overrightarrow{u}$ .
Définition 1 : Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. On dit que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont une base du plan si et seulement si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.
Définition 2 : Soit $\overrightarrow{u}\left ( a;b \right )$ et $\overrightarrow{v}\left ( c;d \right )$ deux vecteurs du plan. Le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le réel a × c − b × d. On le note $\mathrm{det}\left ( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right )\, =\, 0$ .
Propriété 1 : Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\mathrm{det}\left ( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right )\, =\, 0$ .
Propriété 2 : Soit A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) deux points du plan.
Le milieu du segment [AB] est le point M dont les coordonnées sont $M\left ( \frac{x_{a}\, +\, x_{b}}{2};\frac{y_{a}\, +\, y_{b}}{2} \right )$ .
Propriété 3 : Si A et B sont deux points de coordonnées respectives (x_A;y_A) et (x_B;y_B), alors on a tout naturellement : $\left\| \overrightarrow{AB}\right\| \, =\, \sqrt{\left ( x_{B}\, -\, x_{a} \right )^{2}\, +\, \left ( y_{B}\, +\, y_{a} \right )^{2}}$ .
Définition : Soit un point M est un point extérieur à une droite (d). On dit que le point N de la droite (d) est le projeté orthogonal du point M sur la droite (d) lorsque les droites (MN) et (d) sont perpendiculaires.

Représentations et méthodes

Dans un plan muni d'un repère $\left ( 0\, ;\, \overrightarrow{i}\, ;\, \overrightarrow{j} \right )$ , à tout vecteur $\overrightarrow{u}$ est associé un unique point M tel que $\overrightarrow{OM}\, =\, \overrightarrow{u}$ , le point est l'image de l'origine O du repère par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ .
Par définition, les coordonnées de $\overrightarrow{u}$ sont celles de M : si M a pour coordonnées (x;y), le vecteur $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées (x;y), on écrit $\overrightarrow{u}\left ( x;y \right )$ ou aussi $\overrightarrow{u}\left| \begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right.$ .
Par exemple, sur le dessin ci-dessous on a : $\overrightarrow{u}\left ( 3;4 \right )$ .

Il en découle que deux vecteurs $\overrightarrow{u}\left ( x;y \right )$ et $\overrightarrow{v}\left ( {x}';{y}' \right )$ sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées : $x\, =\, {x}'$ et $y\, =\, {y}'$ .
Il est facile de calculer les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ quelconque à partir des coordonnées des points A et B. Dans un repère du plan, soit A un point de coordonnées (x_A;y_A) et B un point de coordonnées (x_B;y_B), alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées (x_B − x_a ; y_B − y_a).
Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de coordonnées $\overrightarrow{u}\left ( x;y \right )$ et $\overrightarrow{v}\left ( {x}';{y}' \right )$ , alors :

la somme de deux vecteurs $\overrightarrow{u}\left ( x;y \right )$ et $\overrightarrow{v}\left ( {x}';{y}' \right )$ est un vecteur $\overrightarrow{u}\, +\, \overrightarrow{v}$ qui a pour coordonnées $\left ( x\, +\, {x}';\, y\, +\, {y}' \right )$ ;
le produit d'un vecteur $\overrightarrow{u}\left ( x;y \right )$ par un réel k est un vecteur $k\overrightarrow{u}$ qui a pour coordonnées (kx;ky).