Fonctions trigonométriques (2)

L'essentiel du cours

Définition 1

On appelle fonction cosinus, notée cos(x), la fonction définie sur Ensemble R

, qui à tout x associe cos(x).
On appelle fonction sinus, notée sin(x), la fonction définie sur Ensemble R

, qui à tout x associe sin(x).

Propriété 1

Pour tout $\mathit{x}\, \in \, \mathbb{R}$ :

• On dit que la fonction cosinus est paire car cos(−x) = cos(x).

• On dit que la fonction sinus est impaire car sin(−x) = − sin(x).

Conséquence :
La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Propriété 2

Pour tout $\mathit{x}\, \in \, \mathbb{R}$ , on dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π (ou encore 2π-périodiques) car cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x).

Propriété 3 – Tableau de valeurs

Propriété 4 – Tableau de variations des deux fonctions trigonométriques sur [−π ; π]

Représentations et méthodes

Représentation de la fonction cosinus sur [−π ; π]

Représentation de la fonction sinus sur [−π ; π]

Représentation des fonctions trigonométriques sur

Comme les fonctions sont 2π-périodiques, on peut reproduire les variations des fonctions obtenues sur l'intervalle [−π ; π] par translation horizontale de vecteur 2π.

Méthode

Pour résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique, il faut :

simplifier l'équation ou l'inéquation au maximum ;
utiliser les valeurs connues des fonctions trigonométriques pour résoudre l'équation ou l'inéquation.

Exemples
→ Résoudre sur ]−π ; π] l'équation $\mathrm{cos}(\alpha )\, =\, \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Sur le cercle trigonométrique, les angles α vérifiant $\mathrm{cos}(\alpha )\, =\, \frac{\sqrt{3}}{2}$ sont les angles $\alpha _{1}\, =\, \frac{\pi }{6}$ et $\alpha _{2}\, =\, -\, \frac{\pi }{6}$ .
→ Résoudre sur [0 ; 2π[ l'inéquation $\mathrm{sin}(\alpha )\, \geq \, -\, \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Sur le cercle trigonométrique, on trace la droite d'équation $\mathit{y}\, =\, -\, \frac{\sqrt{2}}{2}$ et on relève les points du cercle qui sont au-dessus de cette droite et les angles associés ( $\mathrm{sin}(\alpha )\, =\, -\, \frac{\sqrt{2}}{2}$ lorsque $\alpha _{1}\, =\, \frac{5\pi }{4}$ et $\alpha _{2}\, =\, \frac{7\pi }{4}$ ).
Ainsi, sur l'intervalle [0 ; 2π[, l'inéquation $\mathrm{sin}(\alpha )\, \geq \, -\, \frac{\sqrt{2}}{2}$ admet pour solutions $\left [ 0\, ;\, \frac{5\pi }{4} \right ]\, \cup \, \left [ \frac{7\pi }{4}\, ;\, 2\pi \right ]$ .