Fonctions trigonométriques (1)

L'essentiel du cours

Définition 1

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O, de rayon 1 sur lequel on a choisi un sens de parcours, on dit qu'il est orienté dans le sens direct (c'est le sens inverse des aiguilles d'une montre).
Remarque : Comme le cercle trigonométrique est de rayon 1, son périmètre est de longueur 2π, ce qui correspond à un tour complet, soit à un angle de 360°.
Ainsi, un demi-cercle est de longueur π, soit un angle de 180°.

Définition 2

Sur le cercle trigonométrique, la mesure en radian de l'angle $\widehat{\mathit{IOM}}$ est la longueur de l'arc de cercle $\widehat{\mathit{IM}}$ intercepté par cet angle.

Définition 3

On note C le cercle trigonométrique de centre O et M le point de C image du réel x.
L'abscisse du point M dans le repère (O ; I, J) est le cosinus de x, noté cos(x).
L'ordonnée du point M dans le repère (O ; I, J) est le sinus de x, noté sin(x).

Propriété 1

Pour tout réel x, on a − 1 cos(x) 1 et − 1 sin(x) 1.
Pour tout réel x, on a (cos(x))² + (sin(x))² = 1.

Propriété 2

Tous les nombres égaux à 2π près sont associés au même point sur le cercle, donc leurs cosinus et leurs sinus seront égaux.

Propriété 3

Soit a un nombre réel ( $\mathit{a}\, \in \, \mathbb{R}$ ).

cos(−a) = cos(a)
sin(−a) = − sin(a)

cos(π −a) = − cos(a)
sin(π −a) = sin(a)

cos⁡(π + a) = − cos(a)
sin(π + a) = − sin(a)

$\mathrm{cos}\left ( \frac{\pi }{2}\, -\,\mathit{a} \right )\, =\, \mathrm{sin}(a)$
$\mathrm{sin}\left ( \frac{\pi }{2}\, -\,\mathit{a} \right )\, =\, \mathrm{cos}(a)$

$\mathrm{cos}\left ( \frac{\pi }{2}\, +\, \mathit{a} \right )\, =\, -\, \mathrm{sin}(a)$
$\mathrm{sin}\left ( \frac{\pi }{2}\, +\, \mathit{a} \right )\, =\, -\, \mathrm{cos}(a)$

Représentations et méthodes

Propriété – Enroulement de la droite des réels

On considère la droite graduée des réels, dont le zéro coïncide avec le point I du cercle trigonométrique.
On enroule sur le cercle C la demi-droite des réels positifs dans le sens direct, et celle des réels négatifs dans l'autre sens.
Dans ce cas, chaque réel x de la droite vient se positionner sur un point M unique du cercle C qu'on appelle l'image du réel x sur le cercle C.

Propriété – Valeurs particulières

x	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$
*Cos x*	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
*Sin x*	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1