Dérivation (1)

L'essentiel du cours

Soit I un intervalle de $\mathbb{R}$ .
Soit f une fonction définie sur I dont la courbe représentative est notée C_f.
Soit $a\, \in \, I$ , A le point de la courbe tel que A(a ; f(a)) et h un nombre réel tel que $a\, +\, h\, \in \, I$ .

Définition 1

On appelle taux d'accroissement (ou taux de variation) de la fonction f en a, la fonction qui à un réel h associe $\tau \left ( h \right )\, =\, \frac{f\left ( a\, +\, h \right )\, -\, f\left ( a \right )}{h}$ .
Remarque : Si A(a ; f(a)) et H(a + h ; f(a + h)) sont deux points de la représentation graphique de f, alors $\tau \left ( h \right )\, =\, \frac{f\left ( a\, +\, h \right )\, -\, f\left ( a \right )}{h}$ est le coefficient directeur de la droite (AH).

Définition 2

On dit que la fonction f est dérivable en a lorsque le taux d'accroissement de f en a tend vers un nombre réel l lorsque h tend vers 0. On note cette définition : $\underset{h\to 0}{\textrm{lim}}\frac{f\left ( a\, +\, h \right )\, -\, f\left ( a \right )}{h}\, =\, l$ .
Dans ce cas, l est appelé le nombre dérivé de f en a et est noté f'(a).

Exemple

Soit la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ parg(x) = 3x² − 2x + 6. Calculer g'(5).
On calcule : g(5) = 3 × 5² − 2 × 5 + 6 = 71, puis g(5 + h) = 3(5 + h² − 2(5 + h) + 6 = 75 + 30h + 3h² − 10 − 2h + 6 = 3h² + 28h + 71.
On peut ensuite calculer $\tau \left ( h \right )\, =\, \frac{g\left ( 5\, +\, h \right )\, -\, g\left ( 5 \right )}{h}\, =\, \frac{3h^{2}\, +\, 28h\, +\, 71\, -\, 71}{h}\, =\, \frac{3h^{2}\, +\, 28h}{h}\, =\, 3h\, +\, 28$ .
Et donc on obtient finalement : $g' \left ( 5 \right )\, =\, \underset{h\to 0}{\textrm{lim}}\frac{g\left ( 5\, +\, h \right )\, -\, g\left ( 5 \right )}{h}\, =\, \underset{h\to 0}{\textrm{lim}}\left ( 3h\, +\, 28 \right )\, =\, 28$ .
Remarque : Certaines fonctions ont des valeurs de leur ensemble de définition pour lesquelles le nombre dérivé n'existe pas.

Définition 3

Si la fonction f est dérivable en a, alors on appelle tangente à la courbe C_f au point d'abscisse a, la droite T de coefficient directeur f'(a) passant par le point A(a ; f(a)).

Propriété – Équation de la tangente

Si la fonction f est dérivable en un réel a, alors la tangente à la courbe représentative C_f au point d'abscisse a admet pour équation : y = f'(a) × (x − a) + f(a).

Méthodes pour manipuler les tangentes

Méthode 1 – Lecture du nombre dérivé

Pour lire graphiquement un nombre dérivé (lorsque la fonction est dérivable en a), il faut :

chercher le point A sur la courbe représentative C_f ;
en ce point A, la tangente T doit être tracée. Dans ce cas, le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de T.

Exemple

Point	x	f(x)	f'(x)
A	−4	11	$-\frac{1}{5}$
B	2	4	$\frac{1}{5}$
C	6	2	$-\frac{1}{2}$

Méthode 2

Pour construire la tangente à C_f en A (lorsque la fonction est dérivable en a), il faut :

chercher le point A sur la courbe représentative C_f ;
calculer f'(a) puis tracer la droite qui passe par le point A et qui a pour coefficient directeur f'(a).

Méthode 3

Pour calculer l'équation d'une tangente (lorsque la fonction est dérivable en a), il faut :

calculer f'(a) et f(a) ;
appliquer la formule donnant l'équation de la tangente au point d'abscisse a.

Exemple

Soit la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par g(x) = 3x² − 2x + 6.
Calculer l'équation de la tangente à C_g au point A d'abscisse 5.
On a calculé : g(5) = 71, et g'(5) = 28.
L'équation réduite de la tangente en A à C_g est donnée par la formule :
y = g'(5) × (x − 5) + g(5).
Soit y = 28 × (x − 5) + 71 et donc y = 28x − 69 est l'équation cherchée.