Équations du second degré

L'essentiel du cours

Définition 1

Soit a, b et c des nombres réels avec $\mathit{a}\, \neq \, 0$ .
On appelle équation du second degré toute équation qui peut s'écrire sous la forme ax² + bx + c = 0.

Définition 2

Résoudre une équation consiste à déterminer toutes les solutions de cette équation.
Si f est une fonction polynôme du second degré, résoudre l'équation f(x) = 0 revient à déterminer tous les réels k vérifiant f(k) = 0. Dans ce cas, les solutions sont appelées les racines du polynôme.

Définition 3

Soit a, b et c des nombres réels avec $\mathit{a}\, \neq \, 0$ .
On appelle discriminant du polynôme f tel que f(x) = ax² + bx + c le nombre Δ = b² − 4ac.

Théorème

Soit a, b et c des nombres réels avec $\mathit{a}\, \neq \, 0$ . On étudie le polynôme f tel que f(x) = ax² + bx + c.
Il y a alors trois cas dans la résolution de l'équation f(x) = 0 :

Si Δ < 0, alors il n'y a pas de solution réelle.
Si Δ = 0, alors il y a une unique solution : $\mathit{x}_{0}\, =\, -\, \frac{b}{2\mathit{a}}$ .
Si Δ > 0, alors il y a deux solutions : $\mathit{x}_{1}\, =\, \frac{-\mathit{b}\, -\,\sqrt{\Delta }}{2\mathit{a}}$ et $\mathit{x}_{2}\, =\, \frac{-\mathit{b}\, +\, \sqrt{\Delta }}{2\mathit{a}}$ .

Propriété 1

Soit a, b et c des nombres réels avec $\mathit{a}\, \neq \, 0$ . On étudie la fonction polynôme f telle que f(x) = ax² + bx + c, de discriminant Δ. On a alors :

Signe du discriminant Δ	Solutions réelles de l'équation f(x) = 0	Factorisation de l'expression
Δ < 0	Pas de solution	Impossible dans l'ensemble
Δ = 0	Une solution : $\mathit{x}_{0}\, =\, -\, \frac{b}{2\mathit{a}}$	f(x) = a(x −x₀)²
Δ > 0	Deux solutions : $\mathit{x}_{1}\, =\, \frac{-\mathit{b}\, -\, \sqrt{\Delta }}{2\mathit{a}}$ et $\mathit{x}_{2}\, =\, \frac{-\mathit{b}\, +\, \sqrt{\Delta }}{2\mathit{a}}$	f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

Propriété 2 (propriété des racines)

Soit a, b et c des nombres réels avec $\mathit{a}\, \neq \, 0$ . On étudie la fonction polynôme f définie sur Ensemble R

telle que f(x) = ax² + bx + c dans le cas où il admet deux racines réelles distinctes x₁ et x₂ (dans le cas où Δ > 0).
On a alors $\mathit{x}_{1}\, +\, x_{2}\, =\,-\, \frac{\mathit{b}}{\mathit{a}}$ et $\mathit{x}_{1}x_{2}\, =\, \frac{\mathit{c}}{\mathit{a}}$ .

Propriété 3

Soit a, b et c des nombres réels avec $\mathit{a}\, \neq \, 0$ . On étudie la fonction polynôme f telle que f(x) = ax² + bx + c, de discriminant Δ. On a alors :

Si Δ < 0, alors f(x) est toujours du signe de a pour tout $\mathit{x}\, \in \, \mathbb{R}$ .
Si Δ = 0, alors f(x) est toujours du signe de a pour tout $\mathit{x}\, \in \, \mathbb{R}$ et s'annule en $\mathit{x}_{0}\, =\, -\, \frac{b}{2\mathit{a}}$ .
Si Δ > 0, alors f(x) s'annule en deux réels distincts x₁ et x₂ et on a le tableau de signe :

Méthodes de résolution

Méthode 1 : Résolution par factorisation

Pour résoudre une équation du second degré à l'aide de la factorisation, il faut :

factoriser l'expression en trouvant un facteur commun ou en utilisant les identités remarquables ;
déduire de la factorisation les solutions de l'équation.

Exemples

→ Résoudre dans Ensemble R

l'équation 3x² + 12x + 12 = 0.
On a : 3x² + 12x + 12 = 3(x² + 4x + 4) = 3(x + 2)² avec l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b².
Il faut résoudre (x + 2)² = 0 soit x + 2 = 0 et donc l'ensemble des solutions de l'équation est S = {−2}.
→ Résoudre dans Ensemble R

l'équation 4x₂ + 6x = 0.
On factorise par 2x : 4x² + 6x = 2x(2x + 3) puis on résout 2x = 0 soit x = 0 et (2x + 3) = 0 soit 2x = −3, d'où $\mathit{x}\, =\, \frac{-\, 3}{2}$ et donc l'ensemble des solutions de l'équation est $\mathit{S}\, =\, \left\{ \frac{-3}{2}\, ;\, 0\right\}$ .

Méthode 2 : Résolution en utilisant le discriminant

Pour résoudre une équation du second degré avec le discriminant, il faut :

calculer le discriminant de l'expression du second degré (et donc avoir vérifié au préalable que c'est bien une équation du second degré) ;
déduire de la valeur du discriminant le nombre de solutions et les calculer lorsqu'il y en a.

Exemple

Résoudre dans Ensemble R

l'équation x² + 2x − 2 = 0.
On a : Δ = b² −4ac = 2² − 4 × 1 × (− 2) = 12.
On en déduit que l'équation possède deux solutions réelles : $\mathit{x}_{1}\, =\, \frac{-\, \mathit{b}\, -\, \sqrt{\Delta }}{2\mathit{a}}=\frac{-\, 2\, -\, \sqrt{12}}{2}\, =\, -\, 1\, -\, \sqrt{3}$ et $\mathit{x}_{2}\, =\, \frac{-\, \mathit{b}\, +\, \sqrt{\Delta }}{2\mathit{a}}=\frac{-\, 2\, +\, \sqrt{12}}{2}\, =\, -\, 1\, +\, \sqrt{3}$ .
Donc l'ensemble des solutions de l'équation est $\mathit{S}\, =\, \left\{ -\, 1\, -\, \sqrt{3}\, ;\, -\, 1\, +\, \sqrt{3}\right\}$ .