Équations et inéquations

L'essentiel du cours

On appelle équation produit nul toute équation dont un membre est un produit de facteurs et dont l'autre membre est 0.
Exemple :
Résoudre une équation de produit nul : (2x + 3)(5x − 4) = 0.
Un produit de facteurs est égal à 0 si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
(2x + 3) = 0 ou (5x − 4) = 0
2x = −3 ou 5x = 4
$x\, =\, \frac{-3}{2}$ ou $\textrm{x}\, =\, \frac{5}{4}$
Les solutions de l'équation sont $\frac{-3}{2}$ et $\frac{4}{5}$ .
Propriétés :

On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer le sens.
On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement positif sans en changer le sens.
Si on multiplie par un même nombre strictement négatif les deux membres d'une inégalité, alors on change le sens de cette inégalité.

Exemple :
x + 1 supérieur ou égal

4 $\leftrightarrow$ x + 1 − 1 supérieur ou égal

4 − 1 $\leftrightarrow$ x supérieur ou égal

3 : on a soustrait 1 aux deux membres de l'inégalité.
2x inférieur ou égal

6 $\leftrightarrow$ 2 × 2 inférieur ou égal

62 $\leftrightarrow$ x inférieur ou égal

3 : on a divisé les deux membres de l'inégalité par 2.
−3x > 12 $\leftrightarrow$ −3x − 3 < 12 − 3 $\leftrightarrow$ x < − 4 : on a divisé les deux membres de l'inégalité par −3.

Méthodes de résolution

Équations ou inéquations avec des carrés

Pour résoudre une équation comportant des carrés, on revient à une écriture de la forme X² = A². Deux nombres opposés ont le même carré, donc :
X² = A² équivaut à X = A ou X = −A.
Exemple : Résoudre (x −1)² = 9 revient à écrire : x −1 = 3 ou x −1 = −3, soit x = 4 ou x = −2, d'où S = {−2 ; 4}.
Pour résoudre une inéquation comportant des carrés, on transpose tous les termes dans un seul membre et on factorise, si possible, en un produit de facteurs du premier degré.
On peut alors en déduire l'ensemble des solutions à l'aide d'un tableau de signes.
Exemple :
Résoudre (x −1)² = 9 revient à écrire : (x − 1)² −9 ≤ 0.
On reconnaît alors la différence de deux carrés : a² − b² = (a − b)(a + b).
D'où : [(x −1)−3][(x −1)+ 3] ≤ 0, ou encore : (x −4)(x + 2) ≤ 0.

On conclut à l'aide d'un tableau de signes :
Le produit est négatif sur l'intervalle [−2 ; 4], d'où : S = [−2 ; 4].

Résoudre un système d'équations

Il y a deux méthodes : par substitution ou par addition.
Si l'une des inconnues possède un coefficient égal à 1 ou −1, il est préférable d'utiliser la méthode par substitution. Dans l'une des équations, on écrit l'inconnue dont le coefficient est 1 ou −1 en fonction de l'autre, puis on substitue cette écriture à l'inconnue de la seconde équation.
Exemple : Dans le système $\left\{\begin{matrix}x\, +\, 2y\, =\, 3 \\2x\, +\, 3y\, =\, 4\end{matrix}\right.$ , on exprime x en fonction de y
dans la première équation et on obtient le système équivalent : $\left\{\begin{matrix}x\, =\, 3\, -\, 2y \\2x\, +\, 3y\, =\, 4\end{matrix}\right.$
On remplace ensuite x par 3 − 2y dans la seconde équation, ce qui donne le système : $\left\{\begin{matrix}x\, =\, 3\, -\, 2y \\2\left ( 3\, -\, 2y \right )\, +\, 3y\, =\, 4\end{matrix}\right.$ qui équivaut à $\left\{\begin{matrix}x\, =\, 3\, -\, 2y \\-y\, +\, 6\, =\, 4\end{matrix}\right.$ ,
soit encore à $\left\{\begin{matrix}x\, =\, 3\, -\, 4\, =\, -1 \\y\, =\, 6\, -\, 4\, =\, 2\end{matrix}\right.$ . On obtient ainsi le couple solution : S = {(1 ; 2)}.
Si les coefficients des inconnues sont différents de 1 ou de −1, pour éviter l'apparition d'écritures fractionnaires, on utilise la méthode par addition.