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Mathématiques - Automatismes
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Informations sur les automatismes
Cette nouvelle épreuve est basée sur des automatismes de l'année de première ou des années antérieures. Elle a pour objectif de faire prendre conscience aux candidats de l'importance de l'entraînement tout au long du cursus et de remobiliser leurs connaissances sur le calcul mental, ou posé.
L'usage de la calculatrice n'est donc pas autorisé lors de cette partie de l'épreuve ; les questions d'automatisme doivent être résolues uniquement avec ses connaissances et une feuille de brouillon.
Entraînez-vous avec le sujet 0.
Calculs numériques et algébriques
1. Comparer deux nombres directement ou par calcul :
  • de leur différence ;
  • s'ils sont strictement positifs, de leur quotient.
2. Effectuer des opérations et des comparaisons entre des fractions simples.
3. Effectuer des opérations sur les puissances.
4. Passer d'une écriture d'un nombre à une autre (décimale, fractionnaire, pourcentage).
5. Estimer un ordre de grandeur et s'assurer de la vraisemblance, de la cohérence d'un résultat.
6. Effectuer des conversions d'unités : longueurs, aires, volumes, contenances, durées, vitesses, masses.
7. Effectuer un calcul littéral élémentaire :
  • expressions additives : −(a + b)=−a − b, −(a − b) = b − a ;
  • expressions multiplicatives :
  • x = 1 × x, x\, =\, \frac{x}{1}, \left ( -1 \right )\, \times \, a\, =\, \frac{a}{-1}\, =\, -a ;
  • 0 = 0x, \frac{0}{a}\, =\, 0, \frac{x}{a}\, =\, \frac{1}{a}x, \frac{ab}{c}\, =\, a\, \times \frac{b}{c}\, =\, \frac{a}{c}\, \times \, b ;
  • \frac{1}{\frac{1}{a}}\, =\, a, \frac{1}{\frac{a}{b}}\, =\, \frac{b}{a}, \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\, =\, \frac{a}{b}\, \div \, \frac{c}{d}\, =\, \frac{a}{b}\, \times \, \frac{d}{c}\, =\, \frac{ad}{bc}.
8. Développer, factoriser, réduire une expression algébrique simple :
  • identités (factorisation et développement) : (a + b)2, (a − b)2, (a + b)(a − b) ;
  • factorisation de ax2 + bx, ax + bx.
9. Résoudre une équation du type : x2 = a, ax + b = cx + d, \frac{a}{x}\, =\, b ou une inéquation du premier degré.
10. Isoler une variable dans une égalité qui en comporte plusieurs, sur des exemples internes aux mathématiques ou issus des autres disciplines.
11. Effectuer une application numérique d'une formule (notamment pour les formules utilisées dans les autres disciplines).
12. Déterminer les solutions d'une équation produit nul.
13. Déterminer le signe d'une expression du premier degré, d'une expression factorisée du second degré.
14. Développer, factoriser, réduire une expression algébrique simple.
Proportions et pourcentages
15. Calculer, appliquer, exprimer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire, pourcentage).
16. Utiliser une proportion pour calculer une partie connaissant le tout, ou le tout connaissant une partie.
Évolutions et variations
17. Passer d'une formulation additive (« augmenter de 5 % », respectivement « diminuer de 5 % ») à une formulation multiplicative (« multiplier par 1,05 », respectivement « multiplier par 0,95 »).
18. Appliquer un taux d'évolution pour calculer une valeur finale ou initiale.
19. Calculer un taux d'évolution, l'exprimer en pourcentage.
20. Calculer le taux d'évolution équivalent à plusieurs évolutions successives.
21. Calculer un taux d'évolution réciproque.
Exercice n°1
Lorsque A\, =\, 5\, -\, \sqrt{3} et B\, =\, \sqrt{7}\, -\, \sqrt{21}, alors :
Coche la (ou les) bonne(s) réponse(s).
A. A < B
B. A = B
C. A > B
D. impossible
Exercice n°2
Donner la ou les solution(s) de l'équation produit nul : (7x − 3)(5 + 6x) = 0.
Coche la (ou les) bonne(s) réponse(s).
A. S\, =\, \left\{ \frac{3}{7}\right\}
B. S\, =\, \left\{ -\frac{3}{7}\, ;\, \frac{5}{6}\right\}
C. S\, =\, \left\{ \frac{3}{7}\, ;\, -\frac{5}{6}\right\}
D. S\, =\, \left\{ \frac{3}{7}\, ;\, \frac{5}{6}\right\}
Exercice n°3
Dans un lycée, il y a 1 500 élèves. 5 % d'entre eux étudient le japonais. Combien d'élèves cela représente-t-il ?
Coche la (ou les) bonne(s) réponse(s).
A. 75
B. 5
C. 300
D. 125
Exercice n°4
On étudie la parabole d'équation y = x2.
On note (E) l'inéquation, sur Ensemble R, x2 supérieur ou égal 10. L'inéquation (E) est équivalente à :
Coche la (ou les) bonne(s) réponse(s).
A. -\sqrt{10}\, \leq \, x\, \leq \, \sqrt{10}
B. x\, \leq \, -\sqrt{10} ou x\, \geq \, \sqrt{10}
C. x\, \geq \, \sqrt{10}
D. x\, = \, \sqrt{10} ou x\, = \, -\sqrt{10}
Exercice n°5
Le prix d'un vêtement est passé de 25 € à 31,25 €. Il a augmenté de :
Coche la (ou les) bonne(s) réponse(s).
A. 2,5 %
B. 6,25 %
C. 1,25 %
D. 25 %
Exercice n°6
La probabilité d'un événement A est \frac{5}{9}. Quelle est la probabilité de son événement contraire ?
Coche la (ou les) bonne(s) réponse(s).
A. -\frac{5}{9}
B. \frac{5}{9}
C. \frac{4}{9}
D. \frac{9}{5}
Exercice n°7
On considère les trois fonctions définies par : f1 (x) = x² − (x + 4)(x − 6) ; f_{2}\left ( x \right )\, =\, 2\sqrt{x}\, +\, 5 et f_{3}\left ( x \right )\, =\, \frac{4}{x}\, -\, 8. On peut affirmer que :
Coche la (ou les) bonne(s) réponse(s).
A. f2 et f3 sont affines
B. toutes sont affines
C. f1 est affine
D. aucune n'est affine
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