Datation d'une roche, sujet de métropole, juin 2025, exercice 2

Énoncé

Exercice sur 6 points
Les phénomènes de radioactivité permettent, en géologie, la datation des roches. Il est par exemple possible d'utiliser le strontium 87 (⁸⁷Sr), qui est notamment issu de la désintégration du rubidium 87 (⁸⁷Rb), lui-même également présent dans une roche.
Les objectifs de cet exercice sont d'étudier le principe de la datation au strontium 87, puis d'utiliser des résultats d'analyse pour déterminer l'âge d'une roche du site de Meymac situé dans le département de la Corrèze, site âgé de plusieurs centaines de millions d'années.

Données :

temps de demi-vie du noyau de rubidium 87 exprimé en années (a) : t_1/2 = 49,2 × 10⁹ a ;
constante radioactive du noyau de rubidium 87 : λ = 1,41 × 10⁻¹¹ a⁻¹ ;
on suppose qu'une datation d'un échantillon de 1 g de roche par le rubidium 87 radioactif est possible tant qu'il reste au moins N_min = 2,0 × 109 noyaux de rubidium 87 dans l'échantillon ;
extrait du diagramme (N,Z) : les cases grises indiquent les éléments stables.

1. Le rubidium 87, un isotope radioactif adapté pour dater une roche

Q1. Rappeler la définition de noyaux isotopes.
Q2. Écrire l'équation de la désintégration du rubidium 87 indiquée par la flèche sur l'extrait du diagramme (N,Z).
Q3. Préciser à quel type de désintégration correspond cette transformation nucléaire.
On estime qu'un échantillon de 1 g de roche du site de Meymac contenait à sa formation N_Rb(0) = 5,8 × 10²⁰ noyaux de rubidium 87. On souhaite déterminer l'âge maximal d'une roche qu'il serait possible de déterminer par une datation au rubidium 87 d'un échantillon de 1 g.
Q4. Rappeler la définition du temps de demi-vie t_1/2.
Q5. Déterminer, en justifiant le résultat, le nombre maximal de demi-vies après lequel il reste suffisamment de rubidium 87 dans l'échantillon pour qu'on puisse le détecter.
On remarquera que le rapport $\frac{5,8\times 10^{20}}{2,0\times 10^{9}}$ est compris entre 2³⁸ et 2³⁹.
Q6. Justifier que le rubidium 87 est adapté pour dater un échantillon de 1 g de roche du site de Meymac.

2. Décroissance radioactive du rubidium 87 dans une roche

La désintégration spontanée des noyaux de rubidium 87 présents dans un échantillon de 1 g de roche suit la loi de décroissance radioactive. Le nombre N_Rb(t) de noyaux de rubidium 87 présents dans un échantillon de roche à la date t est solution de l'équation différentielle suivante :
$\frac{\mathit{dN}_{\mathrm{RB}}(\mathit{t})}{\mathrm{d}\mathit{t}}=-\lambda \cdot \mathit{N}_{\mathrm{Rb}}(\mathit{t})$
Q7. Vérifier que $\mathrm{N}_{\mathrm{Rb}}(\mathrm{t})\, =\, \mathrm{N}_{\mathrm{Rb}}(\mathrm{0})\, \cdot \, \mathrm{e}^{-\lambda \cdot \mathrm{t}}$ est solution de l'équation différentielle ci-dessus.
On appelle t_f la date à laquelle il reste N_min = 2,0 × 10⁹ noyaux de rubidium 87 dans l'échantillon.
Q8. Déterminer l'expression de t_f en fonction de N_min, N_Rb(0) et λ.
Q9. Calculer la valeur de t_f puis la comparer à la réponse donnée dans la question Q6. Commenter.

3. Datation d'une roche du site de Meymac au strontium 87

On considère que la quantité de strontium 87 formé au cours du temps dans la roche est uniquement issue de la désintégration du rubidium 87. La quantité de strontium 87 présent dans la roche à une date t s'écrit :
N_Sr (t) = N_Sr (0) + N_{Sr formé} (t) Équation 1
avec :

N_Sr(t) : nombre de noyaux de strontium 87 présents à la date t ;
N_Sr(0) : nombre de noyaux de strontium 87 présents à la date t = 0 ;
N_{Sr formé}(t) : nombre de noyaux de strontium 87 formés par la désintégration du rubidium 87 à la date t.

Q10. Donner la relation entre N_{Sr formé}(t), N_Rb(0) et N_Rb(t), sachant que pour un noyau de rubidium 87 qui se désintègre, un noyau de strontium 87 se forme.
Q11. En déduire l'égalité :
$N_{\mathrm{Sr}\, \mathrm{form\acute{e}}}\, =\, N_{\mathrm{Rb}}(t)\, \cdot \, (e^{\lambda \cdot t}\, -\, 1)$ Équation 2
Les équations 1 et 2 permettent enfin d'obtenir l'équation 3 :
$\frac{\mathit{N}_{\mathrm{Sr}}(\mathit{t})}{\mathit{N}_{\mathrm{r\acute{e}f}}}\, =\, \frac{N_{\mathrm{Sr}}(0)}{N_{\mathrm{r\acute{e}f}}}\, +\, (\mathrm{e}^{\lambda \cdot t}-1)\, \cdot\, \frac{N_{\mathrm{Rb}}(t)}{N_{\mathrm{r\acute{e}f}}}$ Équation 3
où N_réf représente le nombre de noyaux stables de strontium 86, supposé constant au cours du temps.
On écrit l'équation 3 sous la forme $\mathit{y}\, =\, \mathit{b}\, +\, (e^{\lambda \cdot \mathit{t}}-1)\cdot \mathit{x}$ avec ${\mathit{y}}\, =\, \frac{N_{\mathrm{Sr}}(t)}{N_{\mathrm{r\acute{e}f}}}$ , ${\mathit{b}}\, =\, \frac{N_{\mathrm{Sr}}(0)}{N_{\mathrm{r\acute{e}f}}}$ et $\mathit{x}\, =\, \frac{\mathit{N}_{\mathrm{Rb}}(\mathit{t})}{\mathit{N}_{\mathrm{r\acute{e}f}}}$ , dans laquelle :

y et x sont des grandeurs mesurables par les géologues pour un ensemble d'échantillons prélevés dans une roche donnée ;
b est une grandeur indépendante de l'échantillon.

Plusieurs échantillons de roche du site de Meymac sont prélevés à la date t_roche correspondant à l'âge de la roche. Pour chaque échantillon, on mesure les grandeurs x et y. Les résultats obtenus sont présentés sur la figure 1 ci-après :

Q12. Déterminer l'âge t_roche de la roche du site de Meymac.

Corrigé

1. Le rubidium 87, un isotope radioactif adapté pour dater une roche

Q1.

C'est une question de cours : il faut se souvenir des particules qui constituent les noyaux (protons et neutrons).

Deux noyaux sont isotopes s'ils possèdent le même nombre de protons Z mais des nombres de neutrons N différents.

Q2.

L'équation de désintégration s'écrit en respectant la conservation du nombre de masse et la conservation du nombre de charges.

$\begin{matrix}87 \\37\end{matrix}Rb\, \to \, \begin{matrix}87 \\38\end{matrix}Sr\, +\, \begin{matrix}\,\, 0 \\-1\end{matrix}e$

Q3.

C'est une question de cours : si la réaction produit un électron, il s'agit d'une désintégration $\mathit{\beta} ^{-}$ . Si la réaction produit un positon, il s'agit d'une désintégration $\mathit{\beta} ^{+}$ .

Il s'agit d'une désintégration $\mathit{\beta} ^{-}$ .

Q4.

C'est une question de cours : il faut raisonner par rapport au nombre de noyaux initialement présents dans un échantillon.

Le temps de demi-vie correspond à la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans l'échantillon se sont désintégrés.

Q5.

Il s'agit de déterminer le nombre de demi-vies tel que le nombre de noyaux restants soit supérieur à N_min. Pour cela, il faut utiliser la définition de la demi-vie donnée à la question précédente et utiliser le rapport donné dans l'énoncé.

Après une durée t_1/2, il reste un nombre de noyaux égal à $\mathit{N}\, =\, \frac{\mathit{N}_{0}}{2}$ . Au bout d'une durée de n × t_1/2 , il reste $\mathit{N}\, =\, \frac{\mathit{N}_{0}}{2^{n}}$ noyaux.
On cherche le nombre maximal de demi-vies n, tel que le nombre de noyaux restants N soit supérieur à N_min.
On a donc :
N > N_min soit $\frac{\mathit{N}_{0}}{2^{n}}\, > \, \mathit{N}_{\mathit{min}}$
D'où $\frac{\mathit{N}_{0}}{N_{min}}\, > \, 2^{\mathit{n}}$ , c'est-à-dire $\frac{5,8\, \times \, 10^{20}}{2,0\, \times \, 10^{9}}\, > \, 2^{n}$
Or, $2^{39}\, > \, \frac{5,8\, \times \, 10^{20}}{2,0\, \times \, 10^{9}}\, > \, 2^{38}$
Donc n = 38.
Le nombre maximal de demi-vies est 38.

Q6.

En utilisant le nombre de demi-vies calculé à la question précédente et le temps de demi-vie du noyau de rubidium indiqué dans les données, on peut calculer le temps qu'il faudrait pour que le nombre de noyaux atteigne N_min. La durée trouvée peut être comparée à l'âge de la Terre ou l'âge de l'univers : si elle est supérieure, alors le rubidium est adapté pour dater un échantillon de roche du site.

On peut dater un échantillon de 1 g de roche du site de Meymac jusqu'à 38 demi-vies, soit :
38 × t_1/2 = 38 × 49,2 × 10⁹ = 1,87 × 10¹² a
Cette durée est très supérieure à l'âge de l'univers (de l'ordre de 10⁸ années).
Le rubidium 87 est donc adapté pour dater un échantillon de 1 g de roche du site de Meymac.

2. Décroissance radioactive du rubidium 87 dans une roche

Q7.

Il faut dériver l'expression de N_Rb (t) donnée dans la question : si on retrouve la même expression que dans l'équation différentielle donnée $\left ( -\lambda \, \cdot \, \mathit{N}_{\mathit{Rb}}(t) \right )$ , alors l'expression est solution de l'équation. Il faut utiliser dans cette question la dérivée de la fonction exponentielle : $\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}^{-a\cdot t}}{\mathrm{d}t}\, =\, -a\, \cdot \, \mathrm{e}^{-a\cdot t}.$

On dérive :
$N_{\mathrm{Rb}}(t)\, =\, N_{\mathrm{Rb}}(0)\, \cdot \, \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}$
$\frac{\mathrm{d}N_{\mathrm{Rb}}(t)}{\mathrm{d}t}=N_{Rb}(0)\, \cdot \, (-\lambda )\, \cdot\, \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}=\, -\lambda \cdot \, N_{\mathrm{Rb}}(0)\cdot \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}\, =\, -\lambda \cdot N_{\mathrm{Rb}}(\mathit{t})$
$N_{\mathrm{Rb}}(t)\, =\, N_{\mathrm{Rb}}(0)\, \cdot \, \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}$ est donc bien solution de l'équation différentielle.

Q8.

Au temps t_f, le nombre de noyaux de rubidium restants est égal à N_min. Il faut isoler t_f de l'expression $N_{\mathrm{Rb}}(0)\, \cdot \, \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t_{f}}\, =\, \mathit{N}_{\mathrm{min}}$ .

Au temps t_f, N_Rb(t_f) = N_min
donc $N_{\mathrm{Rb}}(0)\, \cdot \, \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t_{f}}\, =\, N_{\mathrm{min}}.$
$\Leftrightarrow \, \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t_{f}}\, =\, \frac{N_{\mathrm{min}}}{N_{\mathrm{Rb}}(0)}$
$\Leftrightarrow \, -\lambda \cdot \mathit{t}_{\mathit{f}}\, =\, \mathrm{ln}\left ( \frac{N_{\mathrm{min}}}{N_{\mathrm{Rb}}(0)}) \right )$
$\Leftrightarrow \, \mathit{t}_{\mathit{f}}\, =\, -\frac{1}{\lambda }\, \cdot \, \mathrm{ln}\left ( \frac{N_{\mathrm{min}}}{N_{\mathrm{Rb}}(0)} \right )$

Q9.

Il s'agit d'une application numérique : le temps obtenu sera en années si aucune conversion n'est effectuée.

$\mathit{t}_{\mathit{f}}\, =\, -\frac{1}{1,41\, \cdot 10^{-11}}\, \cdot \, \mathrm{ln}\left ( \frac{2,0\, \cdot \, 10^{9}}{5,0\, \cdot \, 10^{20}} \right )\, =\, 1,9\, \cdot\, 10^{12}\, \, \mathrm{a}$
On retrouve une durée inférieure à 38 demi-vies, ce qui est cohérent avec la question 6.

3. Datation d'une roche du site de Meymac au strontium 87

Q10.

Il faut s'aider de l'équation 1 présente dans l'énoncé, sachant qu'un noyau de rubidium 87 qui disparaît donne un noyau de strontium 87.

Sachant qu'un noyau de rubidium 87 se désintègre pour former un noyau de strontium 87 :
N_{Sr formé} (t) = N_{Rb désintégré} (t)
Or N_Rb (t) = N_Rb (0) − N_{Rb désintégré} (t)
Donc : N_{Sr formé} (t) = N_Rb (0) − N_Rb (t)

Q11.

On peut retrouver l'équation 2 présentée dans l'énoncé en utilisant la relation déterminée à la question précédente et en factorisant les termes. Il faut se souvenir que $\frac{1}{\mathrm{e}^{-a}}\, =\, \mathrm{e}^{\mathit{a}}.$

N_{Sr formé} (t) = N_Rb (0) − N_Rb (t)
Or $\mathit{N}_{\mathrm{Rb}}(t)=N_{\mathrm{Rb}}(0)\cdot \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}$ , c'est-à-dire $\mathit{N}_{\mathrm{Rb}}(0)\, =\, \frac{N_{\mathrm{Rb}}(t)}{\, \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}}$
Donc $\mathit{N}_{\mathrm{Sr\, form\acute{e}}}(\mathit{t})\, =\, \frac{N_{\mathrm{Rb}}(t)}{\, \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}}-N_{\mathrm{Rb}}(t)\, =\, \mathit{N}_{\mathrm{Rb}}(t)\, \cdot \, \left ( \frac{1}{\mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}} -1\right )\, =\, N_{\mathrm{Rb}}(t)\cdot (\mathrm{e}^{\lambda \cdot t}\, -\, 1)$ .

Q12.

Il s'agit d'utiliser la régression linéaire fournie, de déterminer l'expression du coefficient directeur par identification avec l'équation 3 et d'en déduire le temps.

D'après l'énoncé, l'équation 3 s'écrit $\mathit{y}\, =\, b\, +\, (\mathrm{e}^{\lambda \cdot t}-1)\, \cdot \, \mathit{x}$ , ce qui correspond à l'équation d'une droite y = f(x) de coefficient directeur égal à $(\mathrm{e}^{\lambda \cdot t}-1)$ .
D'après l'équation de la droite sur la figure 1, le coefficient directeur est égal à 0,0042.
Donc $\mathrm{e}^{\lambda \cdot t_{\mathrm{roche}}}-1\, =\, 0,0042$
$\mathrm{e}^{\lambda \cdot t_{\mathrm{roche}}}\, =\, \mathrm{ln}(0,0042\, +\, 1)$
$\lambda \, \cdot \, t_{\mathrm{roche}}\, =\, \mathrm{ln}(0,0042\, +\, 1)$
$\mathit{t}_{\mathrm{roche}}\, =\, \frac{\mathrm{ln}(0,0042+1)}{\lambda }\, =\, \frac{\mathrm{ln}(0,0042+1)}{1,41\cdot 10^{-11}}\, =\, 3,0\,\cdot \, 10^{8}\, \mathit{a}.$

Voir le corrigé

Corrigé

1. Le rubidium 87, un isotope radioactif adapté pour dater une roche

Q1.

C'est une question de cours : il faut se souvenir des particules qui constituent les noyaux (protons et neutrons).

Deux noyaux sont isotopes s'ils possèdent le même nombre de protons Z mais des nombres de neutrons N différents.

Q2.

L'équation de désintégration s'écrit en respectant la conservation du nombre de masse et la conservation du nombre de charges.

$\begin{matrix}87 \\37\end{matrix}Rb\, \to \, \begin{matrix}87 \\38\end{matrix}Sr\, +\, \begin{matrix}\,\, 0 \\-1\end{matrix}e$

Q3.

Il s'agit d'une désintégration $\mathit{\beta} ^{-}$ .

Q4.

C'est une question de cours : il faut raisonner par rapport au nombre de noyaux initialement présents dans un échantillon.

Le temps de demi-vie correspond à la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans l'échantillon se sont désintégrés.

Q5.

Q6.

2. Décroissance radioactive du rubidium 87 dans une roche

Q7.

Q8.

Q9.

Il s'agit d'une application numérique : le temps obtenu sera en années si aucune conversion n'est effectuée.

3. Datation d'une roche du site de Meymac au strontium 87

Q10.

Il faut s'aider de l'équation 1 présente dans l'énoncé, sachant qu'un noyau de rubidium 87 qui disparaît donne un noyau de strontium 87.

Q11.

Q12.

Il s'agit d'utiliser la régression linéaire fournie, de déterminer l'expression du coefficient directeur par identification avec l'équation 3 et d'en déduire le temps.