Continuité des fonctions d'une variable réelle

L'objectif principal est de découvrir la notion de continuité et de l'utiliser pour résoudre des équations.
La notion de continuité permet d'énoncer le théorème des valeurs intermédiaires. Ce dernier sert notamment à déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k (où $k\in \mathbb{R}$ et f est une fonction continue), ainsi qu'à en donner une valeur approchée ou un encadrement. Ceci est surtout intéressant lorsque l'on ne sait pas résoudre algébriquement une telle équation.

I. Qu'est-ce qu'une fonction continue ?

Approche graphique

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que la fonction f est continue sur I lorsque sa courbe représentative se trace « sans lever le crayon »
Exemples de fonctions continues :

Propriétés :

• Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur leur ensemble de définition.

• Les fonctions construites à partir des fonctions de référence sont continues sur leur ensemble de définition.

• Les fonctions polynômes sont continues sur Ensemble R

• Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.

Exemples : La fonction f définie pour tout réel x par f(x) = 2x³ + 5x² − x + 1 est continue sur Ensemble R

, car c'est une fonction polynôme.
La fonction f définie pour tout réel $x\neq 3$ par $f\left ( x \right )= \frac{2x+1}{x-3}$ est continue sur Ensemble R

\{3}, car c'est une fonction rationnelle dont le dénominateur s'annule pour x = 3.

Approche algébrique

Définition : Soient f définie sur un intervalle I, et $a\in \mathrm{I}$ . On dit que f est continue en a si et seulement si $\lim_{\begin{matrix}x\rightarrow a\\ x< a\end{matrix}}f\left ( x \right )= \lim_{\begin{matrix}x\rightarrow a\\ x> a\end{matrix}}f\left ( x \right )= f\left ( a \right )$ .
Exemple : Soit la fonction g définie sur Ensemble R

par : $\left\{\begin{matrix}g\left ( x \right )= x-3\; \mathrm{si}\; x< 0\\g\left ( x \right )= x+1\; \mathrm{si}\; x\geqslant 0\end{matrix}\right.$ .
L'image de 0 par la fonction g existe, alors g(0) = 0 + 1 = 1.
De plus, d'après la définition de la fonction g on peut calculer les limites à gauche et à droite de x = 0.
On a : $\lim_{\begin{matrix}x\rightarrow 0\\x< 0\end{matrix}}g\left ( x \right )= -3$ et $\lim_{\begin{matrix}x\rightarrow 0\\x> 0\end{matrix}}g\left ( x \right )= 1$ .
Comme les limites ne sont pas les mêmes, on en déduit que la fonction g n'est pas continue en .

Une vidéo à regarder

« Continuité d'une fonction en un point et sur intervalle – Terminale », KIFFELESMATHS

Cette vidéo permet de revoir la notion de continuité en un point en faisant le parallèle avec la représentation graphique d'une fonction. Elle aborde également l'élargissement de la continuité en un point en évoquant la notion de continuité sur un intervalle.

II. Quelle est la propriété des valeurs intermédiaires ?

Propriété fondamentale des fonctions continues

On considère un intervalle I et deux nombres réels a et b appartenant à I.
Soit f une fonction continue sur I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

Interprétation graphique

Si la fonction f est continue, alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), alors la droite d'équation y = k coupe au moins une fois la courbe représentative de la fonction f. De plus, ce point d'intersection est un point dont l'abscisse est comprise entre a et b.

Interprétation grâce aux équations

Si la fonction f est continue, alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet au moins une solution comprise entre a et b.

Cas particulier : si la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle I

On considère un intervalle I et deux nombres réels a et b appartenant à I.
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique comprise entre a et b.

Suites récurrentes d'ordre 1

Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et (un) une suite définie sur Ensemble N

telle que pour tout entier naturel n, $u_{n}\in \mathrm{I}$ et u_m₊₁ = f(u_n).
Si (u_n) converge vers un réel l appartenant à l'intervalle I, alors f(l) = l.
Exemple : Soit (v_n) une suite définie pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ par $v_{n+1}= \frac{1}{v_{n}+1}$ et telle que v₀ = 2. On peut montrer rapidement que (v_n) est strictement positive ainsi que strictement décroissante pour tout $n\in \mathbb{N}$ .
Alors, on sait que la suite (v_n) est convergente vers un réel l > 0.
De plus, en résolvant l'équation $\frac{1}{l+1}= l$ , et en gardant uniquement la racine positive (car l > 0, on montre que $l= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ .
Donc la suite (v_n) converge vers le réel $l= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ .

Déterminer une valeur approchée de la (ou des) solution(s) d'une équation

Il existe plusieurs méthodes permettant de déterminer la valeur approchée d'une solution d'une équation : le balayage, la dichotomie, les sécantes, etc.
La méthode de Newton, quant à elle, utilise le principe de la dérivation.
Voici un programme en langage Python qui correspond à cette méthode :

Dans ce programme : f est une fonction ; df est la dérivée de la fonction f ; x0 est le réel initial et epsilon est un paramètre de précision.
Par exemple, si nous entrons en amont du programme ceci :

Lorsque l'on exécute le programme et que l'on tape dans la console newton(f, df, 3,0.001) alors l'affichage final sera : 4.828427125049864.
Exercice n°1 Exercice n°2 Exercice n°3 Exercice n°4 Exercice n°5 Exercice n°6

Des vidéos à regarder

– « Une application du théorème des valeurs intermédiaires », Jane Dachta

Cette vidéo vous guide pas à pas pour déterminer le nombre de solutions d'une équation à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires qui est l'un des fondements de l'analyse actuelle. De plus, cette vidéo propose, en s'appuyant sur un exemple, une recherche des solutions des équations de ce type, c'est-à-dire leur nombre et leur valeur approchée.

– « Top 8 des monstres mathématiques | Infini 11 », Science4All

Cette dernière vidéo présente de nombreux mathématiciens célèbres qui ont fait avancer la recherche mathématique au fil des siècles. Les problèmes de discontinuité sont notamment abordés et les recherches de Cantor sont rapidement évoquées.

Histoire des mathématiques : continuité

En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. Tout d'abord, une fonction f est continue si à des variations infinitésimales de la variable x correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).
La continuité est associée à d'autres notions dont l'origine est le plus souvent géométrique. Dans un plan ou dans l'espace, un point peut se déplacer de manière continue pour s'approcher avec une certaine précision d'un autre point.
La notion de continuité a été définie ultérieurement de manière plus rigoureuse par les mathématiciens.
Le premier exemple connu de fonctions continues concerne des fonctions réelles définies sur un intervalle et dont la représentation graphique peut se tracer sans lever le crayon. Cette première approche donne une idée de la notion : la fonction ne doit pas « sauter ». Cependant, ce n'est pas suffisant pour définir précisément la notion de continuité, d'autant plus que certains graphes de fonctions pourtant continues ne peuvent pas se tracer de cette manière, comme l'escalier de Cantor (défini avec des fractales).
L'étude des fonctions continues se révèle très intéressante, notamment pour les propriétés que possèdent ces fonctions : propriété de convergence, théorème des valeurs intermédiaires, intégrabilité, etc.

Exercice n°1

On considère la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle I = [-2;4[

D'après sa courbe représentative, que peut-on dire ?

Cochez la bonne réponse.

La fonction f est continue sur I.

ok	La fonction f n'est pas continue sur I.

Graphiquement, on remarque que la courbe représentative de la fonction f ne peut pas se réaliser sans lever le crayon, donc la fonction f n'est pas continue sur l'intervalle I.

Exercice n°2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f(x) = x × (2 x +1).
Que peut-on dire sur la continuité de la fonction f ?

Cochez la bonne réponse.

On ne sait pas si la fonction f est continue.

ok	La fonction f est continue sur l'ensemble des réels.

La fonction f n'est pas continue sur l'ensemble des réels

La fonction qui a x associe x est une fonction continue sur l'ensemble des réels comme fonction affine particulière.
La fonction qui a x associe 2 x +1 est une fonction continue sur l'ensemble des réels comme fonction affine.
La fonction f est donc continue sur l'ensemble des réels comme produit de deux fonctions continues sur le même ensemble.

Exercice n°3

On considère le tableau de variations d'une fonction continue f.

Combien de solution admet l'équation f(x) = 0,5 ?

Cochez la bonne réponse.

D'après le tableau de variations, on sait que la fonction f admet un maximum lorsque x est égal à 1, ce maximum est égal à 1.
La droite d'équation y = 0,5 est située au dessous du point de coordonnées (1;1), elle a donc deux points d'intersection avec la courbe représentative de la fonction f.
Il y a donc deux solutions à l'équation f(x) = 0,5 ; une solution dans l'intervalle ]0,1[

et une autre dans l'intervalle $]1;+\infty[$ .

Exercice n°4

On considère le tableau de variations d'une fonction continue f.

Combien de solution admet l'équation f(x) = 2 ?

Cochez la bonne réponse.

D'après le tableau de variations, on sait que la fonction f admet un maximum lorsque x est égal à 1, ce maximum est égal à 1.
La droite d'équation y = 2 est située au dessus du point de coordonnées (1;1), elle n'a donc pas de point d'intersection avec la courbe représentative de la fonction f.

Exercice n°5

On considère le tableau de variations d'une fonction g continue sur l'ensemble des réels.

Combien de solution admet l'équation g(x) = 0 sur l'intervalle
$]-\infty;-2[$ ?

Cochez la bonne réponse.

au plus une solution

au moins une solution

ok	une solution unique

D'après le tableau de variations, on sait que la fonction g est continue, de plus elle est strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty;-2[$ .
On a $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$ et g(−2)= 6 or 0 appartient à l'intervalle $]-\infty;6[$ , donc l'équation g(x) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle $]-\infty;-2[$ .

Exercice n°6

On considère le tableau de variations d'une fonction f continue et définie sur l'intervalle ]-3;6[

Combien de solution admet l'équation f(x) = 3 ?

Cochez la bonne réponse.

au moins une solution

D'après le tableau de variations de la fonction f, toutes les valeurs prises par la fonction sont comprises entre −1 et 2.
3 n'est pas compris entre −1 et 2, donc l'équation f(x) = 3 n'admet pas de solution.