Calculer l'aire d'un disque

• On considère un disque de centre O et de rayon r.
Calculer l'aire d'un disque - illustration 1
L'aire du disque est donnée par la formule : \Pi\,\times\,\,r\,\times\,r.
Π (on dit « Pi ») est un nombre, on ne connaît pas sa valeur exacte mais on sait qu'il est a peu près égal à 3,1415. Il y a une infinité de décimales.
Pour les calculs, on utilise souvent une valeur approchée du nombre Pi : 3,14.
• Voici un poème inventé autour de ce nombre mystérieux. Le nombre de lettres de chaque mot représente les décimales de Pi.
« Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages.
Glorieux Archimède, artiste ingénieux !
Toi, de qui Syracuse, aime encore la gloire,
Soit ton nom conservé par de savants grimoires.
Jadis, mystérieux, un problème existait.
Tout l'admirable procédé, l'œuvre étonnante !
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs :
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe !
Sibylline rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs !
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra !
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l'orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle !
Professeur, enseignez son problème avec zèle… »
3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9…
Exemple
L'aire d'un disque de rayon 4 cm est égale à : \Pi\,\times\,4\,\times\,4\,=\,16\,\times\,\Pi\,cm^{2}\approx\,50,24\,cm^{2}.
L'aire d'un disque de rayon 8 cm est le double de l'aire d'un disque de rayon 4 cm.
Cochez la bonne réponse.
vrai
faux
Faux, car :
  • l'aire d'un disque de rayon 8 cm est égale à : \Pi\,\times\,8\,\times\,8\,=\,64\,\times\,cm^{2}\,\approx\,200,96\,cm^{2} ;
  • l'aire d'un disque de rayon 4 cm est égale à : \Pi\,\times\,4\,\times\,4\,=\,16\,\times\,cm^{2}\,\approx\,50,24\,cm^{2} ;
  • l'aire d'un disque de rayon 8 cm est donc 4 fois plus grande que celle d'un disque de rayon 4 cm.
L'aire d'un disque de diamètre 5 cm est égale à :
Cochez la bonne réponse.
a. \Pi\,\times\,5\,\times\,5.
b. \Pi\,\times\,2.5\,\times\,2.5.
c. \Pi\,\times\,10\,\times\,10.
b. Le rayon est égal à la moitié du diamètre et 5\,\div\,2\,=\,2,5.
On considère la figure suivante constituée de 4 cercles :
  • un cercle de centre O est de rayon 4 cm ;
  • un cercle de centre G est de rayon 2 cm ;
  • un cercle de centre E est de rayon 1 cm ;
  • un cercle de centre C est de rayon 1 cm
Calculer l'aire d'un disque - illustration 2
À ton avis, il y a :
Cochez la bonne réponse.
a. plus de bleu que de blanc.
b. plus de blanc que de bleu.
c. autant de blanc que de bleu.
Pour répondre et être sûr de sa réponse, il faut calculer les aires des disques.
Un petit disque blanc : son aire est égale à \Pi\,\times\,1\,\times\,1\,\approx\,3,14\,cm^{2}.
Le gros disque blanc : son aire est égale à \Pi\,\times\,2\,\times\,2\,\approx\,12,56\,cm^{2}.
Au total, en blanc, on a donc : 3,14\,+\,3,14\,+\,12,56\,=\,18,84\,cm^{2} (l'aire des trois disques blancs).
Pour le bleu on va calculer l'aire du grand disque de centre O et enlever ce qui est en blanc.
L'aire du disque de centre O est égale à : \Pi\,\times\,4\,\times\,4\,\approx\,50,24\,cm^{2}.
Donc ce qui est en bleu a une aire de : 50,24\,-\,18,84\,=\,31,4\,cm^{2}.
Il y a donc plus de bleu que de blanc car 31,4\,>\,18,84.