Sujet Amérique du Nord, juin 2014, exercice 2

Énoncé

3 points

L'exercice suivant traite du thème « le canal du Midi »⁽¹⁾. Le vocabulaire spécifique est donné sur le schéma ci-dessous.

Pour amortir les chocs contre les autres embarcations ou le quai, les péniches sont équipées de « boudins » de protection.

Calculer le volume exact en cm³ du « boudin » de protection ci-dessous, puis arrondir au centième.

Rappel :

Volume d'un cylindre de révolution : V = πR²h
où h désigne la hauteur du cylindre et R le rayon de la base.

Volume d'une boule : V = $\frac{4}{3}$ π R³
où R désigne le rayon de la boule.

Remarquez que le « boudin » de protection est composé d'un cylindre de diamètre 16 cm et de hauteur 50 cm et de deux demi-boules de diamètre 16 cm.

(1)Le canal du Midi est un canal qui rejoint l'Atlantique à la Méditerranée.

Voir le corrigé

Corrigé

Le volume du cylindre de diamètre AC = 16 cm, donc de rayon 8 cm, et de hauteur 50 cm est :
V₁ = π × 8² × 50 = π × 64 × 50 = 3 200π cm³.

Le volume des deux demi-boules de diamètre AC = 16 cm, donc de rayon 8 cm est :
V₂ = $\frac{4}{3}$ π × 8³ = $\frac{4 \times 512 \pi}{3}$ = $\frac{2~048 \pi}{3}$ cm³.

Le volume exact du « boudin » de protection est donc :
V = V₁ + V₂ = 3 200π + $\frac{2~048 \pi}{3}$ = $\frac{9~600 \pi}{3}$ + $\frac{2~048 \pi}{3}$ = $\frac{11~648 \pi}{3}$ cm³.
On a V $\approx$ 12 197,76 cm³ au centième près, en utilisant la touche « π » de la calculatrice.