Sujet national, juin 2015, exercice 7

Énoncé

4 points
Ce panneau routier indique une descente dont la pente est de 10 %.
Sujet national, juin 2015, exercice 7 - illustration 1
Cela signifie que pour un déplacement horizontal de 100 mètres, le dénivelé est de 10 mètres.
Le schéma ci-dessous n'est pas à l'échelle.
Sujet national, juin 2015, exercice 7 - illustration 2
1. Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{BCA}} que fait la route avec l'horizontale. Arrondir la réponse au degré.
Utilisez une relation trigonométrique dans le triangle ABC rectangle en B. Vous devez trouver un angle compris entre 5 et 10°.
2. Dans certains pays, il arrive parfois que la pente d'une route ne soit pas donnée par un pourcentage, mais par une indication telle que « 1 : 5 », ce qui veut alors dire que pour un déplacement horizontal de 5 mètres, le dénivelé est de 1 mètre.
Lequel des deux panneaux ci-dessous indique la pente la plus forte ?
Sujet national, juin 2015, exercice 7 - illustration 3
Pour les descentes représentées par les deux panneaux, déterminez le pourcentage de pente le plus élevé.

Corrigé

1. 
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
tan (\widehat{\mathrm{BCA}}) = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} = \frac{10}{100} = 0,1.
En utilisant la calculatrice (en mode degré) : \widehat{\mathrm{BCA}} = tan−1(0,1) \approx 6^{\circ} au degré près.
2. 
Pour le panneau A, la pente est de 15 % et, pour le panneau B, la pente est de 100 × \frac{1}{5} = 20 %.
C'est donc le panneau B qui indique la pente la plus forte.