Sujet de métropole, Antilles, Guyane, juin 2026, exercice 2

Énoncé

Raisonnement et résolution de problèmes

14 points

La qualité de la rédaction et des explications est prise en compte dans la notation de chaque exercice ; veillez donc à soigner vos justifications, comme cela est précisé dès le début du sujet.

Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur 2 points.
Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; les essais et les démarches engagées, même non aboutis, seront pris en compte dans la notation.

Exercice sur 4 points
Sur la figure ci-dessous :

• les droites (BD) et (CE) sont sécantes en A ;

• les droites (BC) et (DE) sont parallèles ;

• AB = 6,4 cm ; AC = 4,8 cm ; AD = 4,8 cm ; BC = 8 cm.

Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

Il faut ici se laisser guider par la première question de cet exercice qui nous oriente vers un théorème fondamental de la géométrie à appliquer directement (sans chercher d'éventuels pièges qui n'ont pas lieu d'être). Attention à la rédaction !

Montrer que DE = 6 cm et AE = 3,6 cm.

Il faut à nouveau se laisser guider par la question qui nous oriente vers l'autre théorème fondamental de la géométrie, à appliquer grâce au parallélisme des droites (BC) et (DE) ; il faut trouver les triangles proportionnels. Attention à la rédaction, notamment à ne pas oublier de données !

Montrer que les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ADE}$ sont égaux.

Il faut éviter de vouloir appliquer un théorème fondamental ou d'utiliser des triangles qui paraissent semblables car ce sera le but de la question suivante.
Il faut, ici, utiliser les propriétés vues en classe de cinquième sur les angles (alternes-internes ou correspondants), c'est au candidat de bien expliquer son choix et ainsi l'égalité des angles.
Les proportions ou la trigonométrie peuvent malgré tout être des options réalisables ici.

Montrer que les triangles ABC et ADE sont semblables.

Pour prouver que deux triangles sont semblables, il faut réussir à prouver que les angles sont égaux deux à deux. L'important dans cette question est de prendre le temps de bien rédiger.

Déterminer l'aire du quadrilatère BCDE.

Le quadrilatère BCDE n'est pas une figure usuelle dont on connait l'aire. Il faut donc utiliser le découpage proposé pour calculer l'aire des quatre triangles rectangles (ou de seulement 2 triangles quelconques dont on connait la hauteur) qui le composent et ainsi obtenir l'aire du quadrilatère. Pensez à bien noter vos calculs et la phrase réponse (attention aux unités à la fin de vos calculs) !

Corrigé

1. 1 point. Le côté le plus long est [BC] et BC² = 8² = 64.
D'autre part : AC² + AB² = 4,8² + 6,4² = 64.
Ainsi, BC² = AC² + AB².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on conclut que le triangle ABC est rectangle en A.

1 point. On sait que :

• Les points C, A et E d'une part et B, A et D d'autre part, sont alignés dans le même ordre ;

• Les droites (BC) et (DE) sont parallèles ;

D'après le théorème de Thalès, on a : $\frac{CA}{AE}\, =\, \frac{BA}{AD}\, =\, \frac{BC}{DE}$ .
Ainsi, en remplaçant par les valeurs numériques, on a : $\frac{4,8}{AE}\, =\, \frac{6,4}{4,8}\, =\, \frac{8}{DE}$ .
Puis, en utilisant le produit en croix, on obtient les longueurs cherchées :
DE = 8 × 4,8 ÷ 6,4 = 6 cm et AE = 4,8 × 4,8 ÷ 6,4 = 3,6 cm.

3. La question 3. est à rédiger correctement pour obtenir 1 point sur les 2 points de communication de la partie 2 du sujet.
0,5 point (+1). Les droites (BC) et (DE) sont parallèles et sont coupées par une sécante (DB), donc les angles alternes-internes formés sont égaux.
Ainsi, on a bien : $\widehat{ABC}\, =\, \widehat{ADE}$ .

4. 0,5 point. On sait, d'après la question précédente, que : $\widehat{ABC}\, =\, \widehat{ADE}$ . De plus, on sait également que : $\widehat{BAC}\, =\, \widehat{DAE}\, =\,90^{\circ}$ car ils sont opposés par le sommet.
Donc, comme les trois angles d'un triangle ont toujours une somme égale à 180°, on déduit des égalités précédentes que : $\widehat{ACB}\, =\, \widehat{AED}$ .
Ainsi, on a prouvé que les triangles ABC et ADE ont leurs angles deux à deux de même mesure et donc que les triangles sont semblables.

1 point. L'aire du quadrilatère est la somme des aires des quatre triangles.
Ce sont tous des triangles rectangles, donc l'aire est la moitié du produit des longueurs des côtés de l'angle droit (L × l ÷ 2) :

• A_ABC = 4,8 × 6,4 ÷ 2 = 15,36 cm².

• A_ABE= 3,6 × 6,4 ÷ 2 = 11,52 cm².

• A_ADE = 4,8 × 3,6 ÷ 2 = 8,64 cm².

• A_ADC = 4,8 × 4,8 ÷ 2 = 11,52 cm².
Ainsi, on obtient : A_BCDE = 15,36 + 11,52 + 8,64 + 11,52 = 47,04 cm².
L'aire du quadrilatère BCDE est donc de 47,04 cm².

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