Sujet de métropole, juin 2025, exercice 1

Énoncé

On dispose d'une urne A contenant 6 boules numérotées : 7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30
et d'une urne B contenant 9 boules numérotées : 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25.
Les boules sont indiscernables au toucher.

On tire une boule dans l'urne A, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Il faut utiliser la définition d'une probabilité. Soyez vigilant pour bien compter toutes les issues possibles de cette expérience aléatoire.

2. On tire une boule dans l'urne B, justifier que la probabilité d'obtenir un nombre premier est de $\frac{1}{3}$ .

3. Quelle urne contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6 ?

On tire une boule au hasard dans l'une des urnes. Démontrer que la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l'urne choisie ?

Il faut pouvoir comparer la probabilité que vous allez obtenir dans chaque urne. Pour cela, il faut exprimer les probabilités que vous allez calculer avec le même dénominateur ou sous la forme d'une écriture décimale.

En repartant avec la composition initiale des urnes A et B on décide d'ajouter une boule numérotée 50 dans chacune d'entre elles. Dans ces conditions, la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 20 est-t-elle toujours égale quelle que soit l'urne choisie ?

Il ne faut pas se précipiter au risque d'inscrire une réponse sans calculer les nouvelles probabilités. Dans ce cas, la définition d'une probabilité ne serait pas donnée. Il est important de prendre son temps, de lister les issues et de recalculer les probabilités avant de répondre.

Voir le corrigé

Corrigé

1. Il y a 4 nombres pairs (10 ; 12 ; 24 ; 30) sur 6 nombres dans l'urne A. La probabilité est donc égale à $\frac{4}{6}\: =\: \frac{2}{3}$ .

2. Les nombres premiers dans l'urne B sont : 2 ; 5 ; 17. La probabilité est donc égale à $\frac{3}{9}\: =\: \frac{1}{3}$ .

3. Dans l'urne A, les nombres 12 ; 24 ; 30 sont des multiples de 6 car 12 = 6 × 2 ; 24 = 6 × 4 et 30 = 6 × 5.
Dans l'urne B, les nombres 6 et 18 sont des multiples de 6 car 6 = 6 × 1 et 18 = 6 × 3.
C'est donc l'urne A qui contient le plus grand nombre de multiples de 6.

4. Dans l'urne A, il y a 2 nombres supérieurs ou égaux à 20 : 24 et 30. La probabilité est égale à $\frac{2}{6}\: =\: \frac{1}{3}$ .
Dans l'urne B, il y a 3 nombres supérieurs ou égaux à 20 : 21, 22 et 25. La probabilité est égale à $\frac{3}{9}\: =\: \frac{1}{3}$ .
Les deux probabilités sont égales.

5. Il y a 7 boules dans l'urne A dont 3 qui portent des nombres supérieurs ou égaux à 20 : 24 ; 30 et 50.
Le tirage dans l'urne A a une probabilité de $\frac{3}{7}\: \approx \: 0,429$ .
Il y a 10 boules dans l'urne B dont 4 dont la valeur du nombre est supérieure ou égale à 20 : 21 ; 22 ; 25 et 50.
Le tirage de l'urne B a donc une probabilité de $\frac{4}{10}\: \approx \: 0,4$ .
Dans ce cas, les nouvelles probabilités ne sont plus égales.