Sujet national, juin 2019, exercice 1

Énoncé

10 points
Le capitaine d'un navire possède un trésor constitué de 69 diamants, 1 150 perles et 4 140 pièces d'or.
1. 
Décomposer 69, 1 150 et 4 140 en produits de facteurs premiers.
La décomposition doit être justifiée avec l'écriture des calculs, mais il est recommandé de vérifier vos résultats avec la touche « decomp » de votre calculatrice.
2. 
Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins. Combien y a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?
Démarrez votre recherche du nombre de marins par la décomposition la plus simple, c'est-à-dire celle des diamants car les 69 diamants n'ont pas autant de diviseurs que les autres nombres.

Corrigé

1. 
On décompose les trois nombres :
69 = 3 × 23
1 150 = 115 × 10 = 5 × 23 × 2 × 5 = 2 × 52 × 23
4 140 = 10 × 414 = 2 × 5 × 2 × 207 = 2 × 5 × 2 × 9 × 23
4 140 = 2 × 5 × 2 × 3 × 3 × 23 = 22 × 32 × 5 × 23.
2. 
Avec les trois décompositions, on voit que le diviseur en commun pour les trois nombres est 23. Donc le capitaine a partagé le trésor entre 23 marins.