Sujet national, juin 2016, exercice 2

Énoncé

4,5 points
On considère les deux programmes de calcul ci-dessous.
Programme A
Programme B
1) Choisir un nombre.
1) Choisir un nombre.
2) Multiplier par −2.
2) Soustraire 7.
3) Ajouter 13.
3) Multiplier par 3.

1. 
Vérifier qu'en choisissant 2 au départ avec le programme A, on obtient 9.
Commencez par multiplier ce nombre par −2, puis rajoutez 13 au résultat.
2. 
Quel nombre faut-il choisir au départ avec le programme B pour obtenir 9 ?
À partir du nombre 9, suivez la troisième puis la deuxième étape du programme B en trouvant à chaque fois la consigne « inverse ».
3. 
Peut-on trouver un nombre pour lequel les deux programmes de calcul donnent le même résultat ?
Pour les deux programmes, notez x le nombre choisi au départ et déterminez l'expression obtenue en fonction de x.
Vous devrez ensuite résoudre une équation du premier degré d'inconnue x.

Corrigé

1. En choisissant 2 au départ avec le programme A, on obtient successivement 2 × (−2) = −4, puis −4 + 13 = 9.
En choisissant 2 au départ avec le programme A, on obtient bien 9.
2. Pour obtenir 9 avec le programme B, il faut que :
  • le nombre obtenu après l'étape 2 soit 9 ÷ 3 = 3 car la consigne « inverse » à celle de multiplier par 3 est celle de diviser par 3 ;
  • le nombre de l'étape 1 soit 3 + 7 = 10 car la consigne « inverse » à celle de soustraire 7 est celle de rajouter 7.
Pour obtenir 9 avec le programme B, il faut donc choisir au départ le nombre 10.
En effet, on obtient successivement 10 − 7 = 3, puis 3 × 3 = 9.
3. En choisissant un nombre noté x au départ avec le programme A, on obtient successivement x × (−2) = −2x, puis −2x + 13.
En choisissant un nombre noté x au départ avec le programme B, on obtient successivement x − 7, puis 3(x − 7) = 3x − 21.
Supposons qu'il existe un nombre noté x pour lequel les deux programmes de calcul donnent le même résultat.
On a donc :
−2x + 13 = 3x − 21
13 + 21 = 3x + 2x
34 = 5x
x\frac{34}{5}
x = 6,8.
Vérification : en choisissant 6,8 au départ avec le programme A, on obtient successivement :
6,8 × (−2) = −13,6, puis −13,6 + 13 = −0,6.
En choisissant 6,8 au départ avec le programme B, on obtient successivement 6,8 − 7 = −0,2, puis 3 × (−0,2)  = −0,6.
En choisissant le nombre 6,8 au départ, on obtient le même résultat (−0,6) avec les deux programmes de calcul.