Sujet inédit, exercice 1

Énoncé

ABCDEF est un hexagone régulier de centre O. C'est-à-dire que :

AB = BC = CD = DE = EF = FA ;
OA = OB = OC = OD = OE = OF ;
$\widehat{\mathrm{AOB}}$ = $\widehat{\mathrm{BOC}}$ = $\widehat{\mathrm{COD}}$ = $\widehat{\mathrm{DOE}}$ = $\widehat{\mathrm{EOF}}$ = $\widehat{\mathrm{FOA}}$ = $60^{\circ}$ .

Quelle est l'image du point B par la translation définie par les points O et C ?

Vous devez trouver le point X tel que OCXA soit un parallélogramme.

Quelle est l'image du point A par la translation définie par les points C et D ?

Vous devez trouver le point Y tel que CDYA soit un parallélogramme.

Quelle est l'image du point C par la rotation de centre O, d'angle $60^{\circ}$ dans le sens des aiguilles d'une montre ?

Faites attention au sens de la rotation.

Quelle est l'image du triangle OCD par la rotation de centre O, d'angle $60^{\circ}$ dans le sens des aiguilles d'une montre ?

Déterminez aussi l'image du point D par la rotation de centre O, d'angle $60^{\circ}$ dans le sens des aiguilles d'une montre.

Quelle est l'image du point E par la rotation de centre O, d'angle $120^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?

Faites attention au sens de la rotation.

Quelle est l'image du triangle EFO par la rotation de centre O, d'angle $120^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?

Déterminez aussi l'image du point F par la rotation de centre O, d'angle $120^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

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Corrigé

L'image du point A par la translation définie par les points O et C est le point X tel que le quadrilatère OCXA soit un parallélogramme.
OA = CB et OC = AB donc le quadrilatère OCBA est un parallélogramme.
L'image du point A par la translation définie par les points O et C est donc le point B.

L'image du point A par la translation définie par les points C et D est le point X tel que le quadrilatère CDXA soit un parallélogramme.
CD = AF et AC = FD car ABCO et DEFO sont des losanges de mêmes dimensions et superposables, donc le quadrilatère CDFA est un parallélogramme.
L'image du point A par la translation définie par les points C et D est donc le point F.

On a $\widehat{\mathrm{COB}}$ = $60^{\circ}$ .
L'image du point C par la rotation de centre O, d'angle $60^{\circ}$ dans le sens des aiguilles d'une montre est donc le point B.

De même, on a $\widehat{\mathrm{DOC}}$ = $60^{\circ}$ .
L'image du point D par la rotation de centre O, d'angle $60^{\circ}$ dans le sens des aiguilles d'une montre est donc le point C.
L'image du point O par cette rotation étant le point O, l'image du triangle OCD par cette rotation est le triangle OBC.

On a $\widehat{\mathrm{EOA}}$ = $\widehat{\mathrm{EOF}}$ + $\widehat{\mathrm{FOA}}$ = $60^{\circ}$ + $60^{\circ}$ = $120^{\circ}$ .
L'image du point E par la rotation de centre O, d'angle $120^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est donc le point A.

De même, on a $\widehat{\mathrm{FOB}}$ = $\widehat{\mathrm{FOA}}$ + $\widehat{\mathrm{AOB}}$ = $60^{\circ}$ + $60^{\circ}$ = $120^{\circ}$ .
L'image du point F par la rotation de centre O, d'angle $120^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est donc le point B.
L'image du point O par cette rotation étant le point O, l'image du triangle EFO par cette rotation est le triangle ABO.